布尔代数中的最小项和最大项

任何布尔函数或逻辑表达式都可以用正则/标准乘积形式或正则/标准乘积形式来表示。逻辑表达式的标准乘积形式包含相加的不同乘积项，每个乘积项称为最小项。另一方面，逻辑表达式的标准乘积形式包含相乘的不同和项，每个和项称为最大项。在本文中，我们将讨论最小项和最大项。

什么是最小项?

当布尔函数或逻辑表达式以 SSOP(标准乘积和)形式或规范形式表示时，表达式的每个项称为最小项。

换句话说，n 个变量的逻辑表达式的乘积项，其中包含 n 个变量中的每一个，无论是补码形式还是非补码形式，都称为最小项。

最小项通常表示为 mi，其中 i 是 0 到 2^(n-1) 之间的整数。这里，"n"是表达式中的变量数。因此，最小项可以表示为 m₀、m₁、m₂、m₃、... 其中，后缀是变量组合的十进制代码。

在最小项中，如果变量的值等于 0，则变量将以其补码形式出现。而如果变量的值等于 1，则变量将以其非补码形式出现。

现在，让我们考虑一些例子来理解逻辑表达式是如何用最小项来表达的。

对于 2 变量(A 和 B)的逻辑表达式，可能的最小项是，

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \overline{A} \: \overline{B}}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \overline{A}B}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: A\overline{B}}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: AB}$$

对于 3 变量(A、B 和 C)的逻辑表达式，可能的最小项为，

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \overline{A} \: \overline{B}C}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \overline{A}B \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \overline{A}BC}$$

$$\mathrm{m_{4} \: = \: A\overline{B} \: \overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{5} \: = \: A\overline{B}C}$$

$$\mathrm{m_{6} \: = \: AB\overline{C}}$$

$$\mathrm{m_{7} \: = \: ABC}$$

这里我们可以看到，两个变量的逻辑函数有四个(2² = 4)最小项，而三个变量的逻辑函数有八个(2³ = 8)最小项。变量的补码形式(用变量上方的横线表示)的值等于 0，变量的非补码形式值等于 1。

什么是最大项?

当布尔函数或逻辑表达式以 SPOS(标准和积)形式或规范形式表示时，表达式的每个项称为 最大项。

换句话说，n 个变量的逻辑表达式的和项，包含"n"个变量中的每一个，无论是补码形式还是非补码形式，都称为 最大项。

最大项通常用 Mi 表示，其中"i"是 0 到 2^(n-1) 之间的整数。这里，"n"是逻辑表达式中变量的总数。因此，逻辑表达式的最大项可以表示为 M₀、M₁、M₂，... 其中后缀表示其组合的十进制代码。

对于最大项，如果变量的值等于 1，则以补码形式写出，如果变量的值等于 0，则以非补码形式写出。

现在，让我们了解如何以最大项的形式表达逻辑函数。

对于具有 2 个变量(A 和 B)的布尔函数，可能的最大项是，

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \lgroup A \: + \: B \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \rgroup}$$

对于 3 个变量 (A、B、C) 的布尔表达式，可能的最大项为，

$$\mathrm{m_{0} \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{1} \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{2} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{3} \: = \: \lgroup A \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{4} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{5} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{6} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: C \rgroup}$$

$$\mathrm{m_{7} \: = \: \lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \rgroup}$$

这里，从2变量和3变量中的这两个逻辑表达式分别，我们可以看到两个变量的逻辑函数有四个(2² = 4)最大项，而三个变量的逻辑函数有八个(2³ = 8)最大项。在这种情况下，未补足形式的变量(用变量上的横线表示)的值等于 0，补足形式的变量的值等于 1。

结论

这就是布尔代数中的最小项和最大项。从上面的讨论中，我们可以得出结论，当表达式以其标准乘积和 (SSOP) 形式表示时，最小项是逻辑表达式的乘积项。另一方面，最大项是逻辑表达式的和项，其中逻辑表达式以标准和积 (SPOS) 形式表示。

最小项和最大项的共同点是它们包含逻辑函数的"n"个变量中的每一个。