数字电子技术中的 5 变量 K 图

K 图 或 卡诺图 是一种简化技术，用于最小化给定的复杂布尔函数。K 图或卡诺图是由相邻单元格排列组成的图形或图表，其中 K 图的每个单元格代表以和或乘积形式表示的特定变量组合。K 图可用于简化涉及任意数量变量的布尔函数。但是，对于涉及五个或更多变量的表达式，使用 K 图简化布尔函数会变得非常复杂。因此，在实际操作中，K 图仅限于六个变量。

K 图中单元格的数量取决于给定布尔函数中的变量数量。K 图将有 2ⁿ 个单元格或方块，其中 n 是布尔表达式中的变量数量。因此，对于二变量函数，K-map 将有 2² = 4 个单元格，对于三变量布尔函数，K-map 将有 2³ = 8 个单元格，对于四变量布尔函数，K-map 将有 2⁴ = 16 个单元格，依此类推。

在这里，我们将讨论五变量 K-Map，并使用它来简化 5 个变量中的布尔函数。所以让我们从 5 变量 K-map 的介绍开始。

五变量 K-Map

五变量 K-map 用于将 5 变量布尔表达式最小化为其简化形式。以下是 5 变量 K 图的重要特征 −

五变量 K 图有 32 (2⁵) 个单元格或方块，K 图的每个单元格代表布尔表达式的最小项或最大项。

如果给定的布尔函数以 SOP(乘积和)形式表示，则五变量布尔函数的最小项指定为 m₀、m₁、m₂、m₃ ... m₃₁。其中，m₀对应于$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \: \overline{E} \rgroup}$，m₁对应于$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} E \rgroup}$，…，m₃₁对应于$\mathrm{\lgroup ABCDE \rgroup}$。

另一方面，如果5变量布尔函数以POS(Product of Sums)形式表示，则函数的最大项分别记为M₀，M₁，M₂，… M₃₁。

其中，M0表示

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: E \rgroup}$$

M₁表示

$$\mathrm{\lgroup A \: + \: B \: + \: C \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

M₃₁代表

$$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: + \: \overline{B} \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup}$$.

五变量K图的32个单元格被分成两块，每块16个单元格，并排排列。左侧块表示从 m₀ 到 m₁₅(或 M₀ 到 M₁₅)的最小项(或最大项。Wheck，thck，th)。在左侧块中，第一个变量(让 A)为 0。右侧块表示从 m₁₆ 到 m₃₁(或 M₁₆ 到 M₃₁)的最小项(或最大项)，在此块中 A 为 1。

在五变量 K 图中，我们可以通过涉及其两个块来形成 2 个方格、4 个方格、8 个方格、16 个方格或 32 个方格。此外，当一个块叠加在另一个块的顶部时，这两个块中的方块被认为是相邻的。

图 1 显示了 5 个变量的 SOP K 图。

图 2 显示了 5 个变量的 POS K 图。

现在，让我们讨论一些已解决的示例，以了解 5 个变量 K 图在以 SOP 形式或 POS 形式简化给定 5 个变量布尔函数中的应用。

示例 1

使用五变量 K 图以 SOP 形式简化以下 5 变量布尔函数。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \sum \: m \lgroup 0,1,2,4,7,8,12,14,15,16,17,18,20,24,28,30,31 \rgroup }$$

解决方案

给定 SOP 布尔函数的 SOP K 图表示如图 3 所示。

解释

使用五变量 K-map(图 3)最小化给定的 5 变量布尔函数按照以下步骤完成 −

K-map 中没有孤立的 1。

最小项 m₀ 可以与 m₄、m₈、m₁₂、m₁₆、m₂₀、m₂₄ 和 m₂₈ 形成一个 8 格。因此将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{D} \: \overline{E} \rgroup} $$

最小项 m₀、m₁、m₁₆ 和 m₁₇ 形成一个 4 平方数。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \rgroup} $$

最小项 m₀、m₂、m₁₆ 和 m₁₈ 形成一个 4 平方数。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{E} \rgroup}$$

最小项 m₇ 和 m₁₅ 形成一个 2 平方。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{A}CDE \rgroup} $$

最小项 m₁₄、m₁₅、m₃₀ 和 m₃₁ 形成一个 4 平方。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup BCD \rgroup} $$

最后，将所有乘积项写成 SOP 形式。

因此，给定的 5 变量布尔函数的最小 SOP 表达式为，

$$\mathrm{f(A,B,C,D,E) \ = \: \overline{A}CDE \: + \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{D} \: + \: \overline{B} \: \overline{C} \: \overline{E} \: + \: BCD \: + \: \overline{D} \: \overline{E}}$$

示例 2

使用五变量 K 图最小化以下 POS 形式的 5 变量布尔函数。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \prod \: M \lgroup 3,5,6,9,10,11,13,19,21,22,23,25,26,27,29 \rgroup}$$

解决方案

给定 POS 布尔函数的 POS K-map 表示如图 4 所示。

解释

使用五变量 K-map(图 4)最小化给定的 5 变量布尔函数是按照以下步骤完成的 −

没有孤立的零K-图。

最大项 M₉、M₁₃、M₂₅ 和 M₂₉ 形成一个 4 平方。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup} $$

最大项 M₃、M₁₁、M₁₉ 和 M₂₇ 形成一个 4 平方。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup C \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup} $$

最大项 M₅、M₁₃、M₂₁ 和 M₂₉ 形成一个 4 – 正方形。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{C} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup}$$

最大项 M₆ 和 M₂₂ 形成一个 2 – 平方数。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: E \rgroup}$$

最大项 M₁₀、M₁₁、M₂₆ 和 M₂₇ 形成 4 – 平方。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{B} \: + \: C \: + \: \overline{D} \rgroup}$$

最大项 M₂₂ 和 M₂₃ 形成 2 – 平方。将其制作并读作 −

$$\mathrm{\lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \ + \: \overline{D} \rgroup}$$

最后，将所有求和项写成 POS 形式。

因此，给定的五个变量布尔函数的最小 POS 表达式为，

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \lgroup \overline{B} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup C \: + \: \overline{D} \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup \overline{C} \: + \: D \: + \: \overline{E} \rgroup \lgroup B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \: + \: E \rgroup \lgroup \overline{B} \: + \: C \: + \: \overline{D} \rgroup \lgroup \overline{A} \: + \: B \: + \: \overline{C} \: + \: \overline{D} \rgroup}$$

数值问题在 K-Map 上

尝试解决以下数值问题，以更好地掌握使用五变量 K-map 来简化布尔表达式的方法。

Q1. 使用 K-Map 以 SOP 形式简化以下五变量布尔表达式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \sum m \lgroup 0,3,4,6,8,10,11,12,15,17,18,22,25,26,27,30,31 \rgroup }$$

Q2. 使用 K-map 以 POS 形式简化以下五变量布尔表达式。

$$\mathrm{f \lgroup A,B,C,D,E \rgroup \: = \: \prod \: M\lgroup 0,1,2,4,6,7,9,10,11,13,15,16,18,19,25,26,28,29,31 \rgroup }$$

结论

以上就是关于五变量 K 图的全部内容。从以上讨论中，我们可以得出结论，使用五变量 K 图可以将五变量布尔函数简化为最小形式。五变量 K 图有 32 个方块或单元格，从 0 到 31。这 32 个单元格排列成两个块，每个块 16 个单元格。但是，五变量 K 图分成两个块的形式使得使用它来最小化布尔函数略显复杂。