将 POS 转换为标准 POS 形式
当布尔表达式表示为和项的乘积时，它被称为POS(和的乘积)形式。在 POS 形式中，表达式的每个和项可能不包含所有变量。
另一方面，当布尔表达式表示为和项的乘积时，其中每个和项包含函数的所有变量，它被称为标准和的乘积(SPOS)形式。在标准 POS 形式中，布尔表达式的每个和项称为 最大项。
现在，让我们讨论如何将 POS 形式的布尔表达式扩展为标准 POS 形式。
将 POS 形式的布尔表达式转换为标准 POS 形式
POS 形式的布尔表达式可以按如下方式转换为标准 POS 形式 -
- 写下给定布尔表达式的所有和项。
- 如果任何和项中缺少一个或多个变量，则将每个缺少变量及其补集的乘积添加到该项中。
- 根据布尔代数规则展开项。
- 最后，从表达式中删除冗余项。
让我们了解 POS 形式的布尔表达式的转换借助示例将以下 3 变量布尔表达式从 POS 形式转换为其标准 POS 形式。
示例 1
将以下 POS 形式的 3 变量布尔表达式转换为其标准 POS 形式。
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C group=\lgroup A+\overline{B} group.\lgroup \overline{B}+C group.\lgroup A+\overline{C} group}$$
解决方案
给定的布尔函数为，
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C group=\lgroup A+\overline{B} group.\lgroup \overline{B}+C group.\lgroup A+\overline{C} group}$$
给定的布尔表达式为在其 POS 形式中。其中，变量 C 从第一项中缺失，变量 A 从第二项中缺失，变量 B 从第三项中缺失。
因此，为了将给定的函数转换为其 SPOS 形式，我们将缺失变量及其补数的乘积添加到函数的每个项中，即
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C group=\lgroup A+\overline{B}+C\overline{C} group.\lgroup \overline{B}+C+A\overline{A} group.\lgroup A+\overline{C}+B\overline{B} group}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C group=\lgroup A+\overline{B}+C group\lgroup A+\overline{B}+\overline{C} group\lgroup A+\overline{B}+C group\lgroup \overline{A}+\overline{B}+C group\lgroup A+B+\overline{C} group\lgroup A+\overline{B}+\overline{C} group}$$
删除冗余项后，我们得到，
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C group=\lgroup A+\overline{B}+C group\lgroup \overline{A}+\overline{B}+C group\lgroup A+B+\overline{C} group\lgroup A+\overline{B}+\overline{C} group}$$
这是给定布尔函数的标准 POS 形式。
示例 2
将以下 4 变量布尔函数转换为其标准 POS 形式。
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D group=\lgroup A+C+D group.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} group.\lgroup A+\overline{C}+D group}$$
解决方案
给定函数为 POS 形式，
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D group=\lgroup A+C+D group.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} group.\lgroup A+\overline{C}+D group}$$
此处，变量 B 在函数的第一项和第三项中缺失，变量 C 在函数的第二项中缺失。因此，为了得到函数的标准 POS 形式，我们将添加缺失变量与其补变量的乘积，如下所示，
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D group=\lgroup A+C+D+B\overline{B} group.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D}+C\overline{C} group.\lgroup A+\overline{C}+D+B\overline{B} group}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C,D group=\lgroup A+B+C+D group.\lgroup A+\overline{B}+C+D group.\lgroup A+\overline{B}+C+\overline{D} group.\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}+\overline{D} group.\lgroup A+B+\overline{C}+D group.\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}+D group}$$
由于表达式中没有冗余项。因此，这是给定布尔函数的标准 POS 形式。
示例 3
将以下 2 变量布尔函数转换为标准 POS 形式。
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B group=\overline{A}.\lgroup A+\overline{B} group.B}$$
解决方案
给定的布尔函数是，
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B group=\overline{A}.\lgroup A+\overline{B} group.B}$$
此函数的 POS 形式具有三个和项，其中变量 B 在第一个项中缺失，变量 A 在第三个项中缺失。因此，为了将其转换为标准 POS 形式，我们将变量及其补码的乘积添加到项中，如下所示，
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B group=\lgroup \overline{A}+B\overline{B} group.\lgroup A+\overline{B} group.\lgroup A\overline{A}+B group}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B group=\lgroup \overline{A}+B group\lgroup\overline{A}+\overline{B} group\lgroup A+\overline{B} group\lgroup A+B group\lgroup \overline{A}+B group}$$
从表达式中删除冗余项，我们得到，
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B group=\lgroup \overline{A}+B group\lgroup\overline{A}+\overline{B} group\lgroup A+\overline{B} group\lgroup A+B group}$$
这是给定布尔表达式的标准 POS 形式。
数值问题
Q 1. −将以下 POS 形式的 3 变量布尔表达式转换为其标准 POS 形式。
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C group=\lgroup A+B group\lgroup A+\overline{B} group\lgroup \overline{B}+C group\lgroup A+C group}$$
Q 2. −将以下 POS 中的 4 变量布尔表达式转换为其标准 POS 形式。
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D group=\lgroup A+B+\overline{C} group\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} group\lgroup \overline{A}+\overline{B}+D group\lgroup A+C+\overline{D} group}$$
Q 3. −将以下 2 变量布尔函数转换为标准 POS 形式。
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B group=\lgroup A+B group.A}$$
结论
这就是将 POS(和的乘积)形式的布尔表达式转换为 SPOS(和的标准乘积)形式。
