SOP 和 POS 形式的逻辑表达式
在关注SSOP(标准乘积和)形式和SPOS(标准和积)形式的逻辑表达式之前，让我们先简单介绍一下"乘积和"和"和的积"形式。
SOP(乘积和)形式
SOP 或乘积和形式是一种表达逻辑或布尔表达式的形式。在 SOP 中，输入变量的不同乘积项以逻辑或的方式结合在一起。因此，在 SOP 形式的情况下，我们首先对输入变量进行逻辑与运算，然后借助逻辑或运算将所有这些乘积项相加。
例如 −
$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: ABC \: + \: \bar{A}BC \: + \: AB \bar{C}}$$
这是一个三个变量的逻辑表达式。这里，ABC、A'BC 和 ABC' 是三个乘积项，它们相加得到 SOP 形式的表达式。
POS(和的乘积)形式
POS 或和的乘积形式是用于表示逻辑表达式的另一种形式。在 POS 形式中，输入变量的不同和项以逻辑"与"的方式连接在一起。因此，如果我们想以 POS 形式表达一个逻辑表达式，我们首先对所有输入变量进行逻辑或运算，然后使用 AND 运算对这些和项进行 AND 运算。
例如 −
$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup A \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup}$$
这里，f 是三个变量的逻辑表达式。从这个例子中可以看出，有三个和项通过 AND 运算在一起以获得给定表达式的 POS 形式。
现在，让我们详细讨论标准乘积和 (SSOP) 形式和标准乘积 (SPOS) 形式。
布尔或逻辑表达式可以表示为两种标准形式，即:
- SSOP 形式
- SPOS 形式
标准乘积和 (SSOP) 形式
标准乘积和 (SSOP) 形式是一种表达逻辑表达式的形式，其中逻辑表达式表示为多个乘积项的总和，其中每个乘积项将以补码或非补码形式包含逻辑表达式的所有变量。
由于 SSOP 形式的每个乘积项都包含所有变量，因此它是也称为扩展乘积和形式。SSOP 形式也称为析取规范形式 (DCF)或规范乘积和形式或正规乘积和形式。
我们可以简单地从真值表中通过确定与给定逻辑表达式(例如 f)具有值 1 的组合相对应的所有项的总和来获得逻辑表达式的标准乘积和形式。
我们还可以使用布尔代数从乘积和 (SOP) 形式中获得表达式的标准乘积和 (SSOP) 形式。
例如，
$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \: + \: B \bar{C}}$$
这是一个三个变量的逻辑表达式，但是以SOP形式来表达。我们可以使用布尔代数将此表达式转换为 SSOP 形式，如下所示。
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B} \lgroup C \: + \: \bar{C} \rgroup \: + \: B \bar{C} \lgroup A \: + \: \bar{A} \rgroup}$$
$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C \rgroup \: = \: A \bar{B}C \: + \: A \bar{B} \: \bar{C} \: + \: AB \bar{C} \: + \: \bar{A}BC}$$
这是给定逻辑表达式的标准乘积和形式。我们可以注意到，在 SSOP 形式中，每个乘积项都包含逻辑函数的所有变量，无论是补数形式还是非补数形式。这些乘积项中的每一个都称为 最小项。具有'n'个变量的逻辑函数或表达式最多可以有 2n 个最小项。值为 1 的逻辑表达式的最小项之和称为该表达式的标准乘积和形式。
标准和积 (SPOS) 形式
标准和积 (SPOS) 形式是一种表达逻辑函数的形式，其中逻辑表达式表示为多个和项的乘积，其中每个和项将包含逻辑表达式的所有变量，无论是补码形式还是非补码形式。
SPOS 形式也称为合取规范形式 (CCF) 或扩展和积形式或标准和积形式或和的规范积形式。
每个项的 SPOS 形式都是通过考虑输出等于 0 的变量组合得出的。每个项都是所有变量的总和表达式。
在 SPOS 形式中，如果变量在组合中的值为 1，则以补码形式出现，如果变量在组合中的值为 0，则以非补码形式出现。
在标准乘积和形式的情况下，包含函数的 n 个变量中的每一个的补码或非补码形式的项称为 最大项。对于 n 个变量的逻辑函数，最多可以有 2n个最大项。值为 0 的逻辑表达式的最大项的乘积称为该表达式的标准和积形式。
与 SSOP 形式类似，我们可以通过确定所有对应于给定逻辑表达式(例如 f)的值等于 0 的变量组合的和项的乘积，从逻辑表达式的真值表中获得标准和积形式。
此外，可以使用布尔代数获得逻辑表达式的 SPOS 形式。
例如，
$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \rgroup}$$
这是一个三变量的逻辑表达式，但是以POS形式表达。我们可以使用布尔代数将此表达式转换为 SPOS 形式，如下所示。
$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C\rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \bar{C} \rgroup \: + \: \lgroup A \: + \: \bar{C} \: + \: B \bar{B} \rgroup}$$
$$\mathrm{\mathit{f} \lgroup A,B,C \rgroup \: = \: \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: C \rgroup \lgroup \bar{A} \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: B \: + \: \bar{C} \rgroup \lgroup A \: + \: \bar{B} \: + \: \bar{C} \rgroup}$$
这是给定逻辑表达式的标准和积 (SPOS) 形式。这里，我们可以注意到，在 SPOS 形式中，每个求和项都包含逻辑函数的所有变量，无论是补形式还是非补形式。
