布尔代数定律

布尔代数是一种处理逻辑运算和二进制数字系统的数学工具。它为数字电子技术和计算机科学奠定了基础。

布尔代数中的定律和规则是逻辑语句或表达式的集合，所有逻辑表达式都基于这些集合构建。布尔代数的每个定律都可以解释为逻辑电路(如逻辑门)执行的运算。

在本章中，我们将学习用于简化逻辑函数和布尔表达式的布尔代数定律和规则。这些定律和规则是布尔代数中必不可少的工具，有助于降低复杂性并优化数字电路和系统。

让我们详细了解用于执行逻辑运算的布尔代数的主要定律和规则。

布尔代数定律

布尔代数的所有重要定律和规则均在下面解释 −

逻辑运算规则

有三种基本逻辑运算，即 AND、OR 和 NOT。下表重点介绍了与这三个逻辑运算相关的规则 −

这些布尔代数规则可以使用逻辑门来实现。

AND 定律

在布尔代数中，有以下四个 AND 定律 −

• 定律 1 − A · 0 = 0(此定律称为零定律)。
• 定律 2 − A · 1 = A(此定律称为恒等定律)。
• 定律 3 − A · A = A
• 定律 4 − A · A' = 0

或律

下面描述了四个或律 −

• 律 1 − A + 0 = A(此律称为零律)。
• 律 2 − A + 1 = 1(此律称为恒等律)。
• 律 3 − A + A = A
• 律 4 − A + A' = 1

补全律

布尔代数中有以下五个补全律 −

• 律 1 − 0' = 1
• 定律 2 − 1' = 0
• 定律 3 − 如果 A = 0，则 A' = 1
• 定律 4 − 如果 A = 1，则 A' = 0
• 定律 5 − (A')' = A(这称为双重补全定律)

交换律

布尔代数中有以下两个交换律 −

定律 1 −根据该定律，运算 A OR B 产生的输出与运算 B OR A 产生的输出相同，即

A + B = B + A

因此，变量的顺序不会影响或运算。

该定律可以扩展到任意数量的变量。例如，对于三个变量，它将是，

A + B + C = C + B + A = B + C + A = C + A + B

定律 2 − 根据该定律，运算 A AND B 的输出与运算 B AND A 的输出相同，即

A · B = B · A

该定律指出，变量进行 AND 运算的顺序不会影响结果。

我们可以将此定律扩展到任意数量的变量。例如，对于三个变量，我们得到，

A · B · C = A · C · B = C · B · A = C · A · B

结合律

结合律定义了对变量进行分组的方式。有两种结合律，如下所述。

定律 1 −表达式 A OR B 与 C 进行"或"运算的结果与表达式 A 与 B OR C 进行"或"运算的结果相同，即

(A + B) + C = A + (B + C)

此定律可以扩展到任意数量的变量。例如，对于 4 个变量，我们得到，

(A + B + C) + D = A + (B + C + D) = (A + B) + (C + D)

定律 2 − 表达式 A AND B 与 C 进行"与"运算的结果与表达式 A 与 B AND C 进行"与"运算的结果相同，即

(A · B) · C = A · (B 和 C)

我们可以将此定律扩展到任意数量的变量。例如，如果我们有 4 个变量，那么

(ABC)D = A(BCD) = (AB)·(CD)

分配律

在布尔代数中，有以下两个分配律，允许对表达式进行乘法或分解。

分配律 1 − 根据此分配律，我们对多个变量进行"或"运算，然后将结果与单个变量进行"与"运算。

它给出的结果与将单个变量与多个变量中的每一个进行"与"运算，然后将乘积项进行"或"运算的表达式相同，即

A · (B + C) = AB + AC

我们可以将此分配律扩展到任意数量的变量。例如，

A(BC + DE) = ABC + ADE

AB(CD + EF) = ABCD + ABEF

定律 2 − 根据此定律，如果我们对多个变量进行 AND 运算，然后将结果与单个变量进行 OR 运算。

它给出的结果与我们将单个变量与多个变量中的每一个进行 OR 运算，然后将总和项进行 AND 运算的结果相同，即，

A + BC = (A + B)(A + C)

证明 −此处解释了该定律的证明，

RHS = (A + B)(A + C)

= AA + AB + AC + BC

= A + AB + AC + BC

= A (1 + B + C) + BC

因为，

1 + B + C = 1 + C = 1

因此，

A · 1 + BC = A + BC = LHS

冗余文字规则 (RLR)

在此规则下，布尔代数中有两条定律，在此进行说明。

定律 1 − 根据此定律，如果我们将一个变量与该变量的补数和另一个变量的 AND 进行或运算。那么，它与两个变量的或运算相同，即，

A + A'B = A + B

证明 − 此定律的证明在此进行说明，

LHS = A + A'B = (A + A')(A + B)

= 1 · (A + B) = A + B = RHS

定律2 − 根据该定律，如果我们将一个变量与该变量的补数和另一个变量的或进行"与"运算，则相当于将两个变量进行"与"运算，即

A(A' + B) = AB

证明 − 该定律可证明如下，

LHS = A(A' + B) = AA' + AB

= 0 + AB = AB = RHS

这两个定律都表明，一个项的补数出现在另一个项中是多余的。因此，该规则被称为冗余文字规则。

幂等律

术语"幂等"是"相同值"的同义词。布尔代数中有两个幂等律。它们是，

定律 1 − 根据此定律，将变量与自身进行 AND 运算等于变量，即

A · A = A

定律 2 − 根据此定律，将变量与自身进行 OR 运算等于变量，即

A + A = A

吸收定律

布尔代数中有两条吸收定律，下面将对它们进行解释。

定律 1 − 根据该定律，如果我们将一个变量与该变量和另一个变量的 AND 进行或运算，则它等于该变量本身，即

A + A · B = A

这可以证明如下，

LHS = A + A · B = A · (1 + B)

= A · 1 = A = RHS

定律 2 −根据该定律，一个变量的"与"与该变量和另一个变量的"或"等价于该变量本身，即，

A(A + B) = A

这也可以证明如下，

LHS = A(A + B) = AA + AB

= A + AB = A(1 + B) = A · 1 = A = RHS

因此，该定律证明，如果一个项出现在另一个项中，则后一个项将变得多余，可以从表达式中删除。

德摩根定理

在布尔代数中，德摩根定理定义了两个定律，如下所述。

定律 1 −根据该定律，变量和的补数等于每个变量补数的乘积，即

$$\mathrm{\overline{A+B} \: = \: \bar{A}\cdot\bar{B}}$$

该定律可以扩展到任意数量的变量。

定律 2 −德摩根定理第二定律指出，变量乘积的补数等于每个变量的补数之和，即

$$\mathrm{\overline{AB} \: = \: \bar{A}\: + \:\bar{B}}$$

该定律还可以扩展到任意数量的变量。

结论

在本章中，我们解释了布尔代数中使用的所有重要定律、规则和定理。这些规则和定律被广泛用于简化数字电子中的逻辑表达式。

基本上，所有这些规则都提供了一套简化复杂布尔函数的工具，使数字电路更简单。