带 NAND 门的全加器

在数字电子技术中，有不同类型的逻辑电路用于执行不同类型的算术运算。其中之一就是加法器。加法器(或二进制加法器)是一种组合逻辑电路，可执行两个或多个二进制数的加法并给出输出和。有两种类型的加法器，即半加法器和全加法器。

由于加法器是逻辑电路，因此它们是使用不同类型的数字逻辑门实现的，例如或门、与门、非门、与非门、或非门等。在这里，我们将讨论使用与非门实现全加器。但在此之前，让我们先了解一下全加器的基础知识。

什么是全加器?

可以将两个二进制数字(位)和一个进位相加，并产生一个和位和一个进位作为输出的组合逻辑电路称为全加器。换句话说，设计用于添加三个二进制数字并产生两个输出(和和进位)的组合电路称为全加器。因此，全加器电路将三个二进制数字相加，其中两个是输入，一个是从上一次加法转发的进位。全加器的框图如图 1 所示。

从全加器的框图中可以清楚地看出，它有三个输入，即 A、B、C_in。其中，A 和 B 是输入位，C_in 是来自前一级的进位位。它有两个输出变量，即总和 (S) 和进位 (C_out)。

全加器真值表

以下是全加器电路的真值表 −

因此，从真值表可知，当只有1个输入等于1或所有输入都等于1时，全加器的和输出等于1。而当两个或三个输入等于1时，进位输出的进位为1。

全加器的输出方程可以从全加器的真值表中获得。这些方程如下 −

总和输出

$$\mathrm{Sum,\, S=A'B'C_{in}+A'BC'_{in}+AB'C'_{in}+ABC_{in}=A\oplus B\oplus C_{in} }$$

进位输出

$$\mathrm{Carry,\, C_{out}=AB+AC_{in}+BC_{in}}$$

现在，让我们讨论使用 NAND 门实现全加器。

使用 NAND 门的全加器

全加器电路可以使用 NAND 逻辑门实现，如图 2 所示。

从使用 NAND 门的全加器的逻辑电路图中可以看出，全加器需要 9 个 NAND 门。

带 NAND 门的全加器电路的和输出方程如下 −

$$\mathrm{S=\overline{\overline{\left ( A\oplus B ight )\cdot \overline{\left ( A\oplus B ight )C_{in}}}\cdot \overline{C_{in}\cdot\overline{\left ( A\oplus B ight )C_{in}}} }=A\oplus B\oplus C_{in}}$$

其中，

$$\mathrm{A\oplus B=\overline{\overline{A\cdot \overline{AB}}\cdot \overline{B\cdot \overline{AB}}}}$$

带有 NAND 门的全加器电路的进位输出方程为，

$$\mathrm{C_{out}=\overline{\overline{C_{in}\left ( A\oplus B ight )}\cdot \overline{AB}}=AB+\left ( A\oplus B ight )C_{in}}$$

这样，我们就可以仅使用 NAND 门来实现全加器电路。