规范和标准形式
我们将两个变量 x 和 y 与逻辑 AND 运算组合起来，得到四个布尔乘积项。这些布尔乘积项称为最小项或标准乘积项。最小项为 x'y'、x'y、xy' 和 xy。
同样，我们将两个变量 x 和 y 与逻辑 OR 运算组合起来，得到四个布尔和项。这些布尔和项称为最大项或标准和项。最大项为 x + y、x + y'、x' + y 和 x' + y'。
下表显示了 2 个变量的最小项和最大项的表示。
| x | y | 最小项 | 最大项 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m0 = x’y’ | M0 = x + y |
| 0 | 1 | m1 = x’y | M1 = x + y’ |
| 1 | 0 | m2 = xy’ | M2 = x’ + y |
| 1 | 1 | m3 = xy | M3 = x’ + y’ |
如果二进制变量为"0"，则它在最小项中表示为变量的补码，在最大项中表示为变量本身。同样，如果二进制变量为"1"，则它在最大项中表示为变量的补码，在最小项中表示为变量本身。
从上表中，我们可以很容易地注意到最小项和最大项是互为补码的。如果有"n"个布尔变量，那么将有 2n 个最小项和 2n 个最大项。
规范 SoP 和 PoS 形式
真值表由一组输入和输出组成。如果有"n"个输入变量，那么将有 2n 种可能的组合，其中 0 和 1。因此，每个输出变量的值取决于输入变量的组合。因此，对于某些输入变量的组合，每个输出变量将具有"1"，而对于其他输入变量的组合，每个输出变量将具有"0"。
因此，我们可以用以下两种方式表示每个输出变量。
- 规范 SoP 形式
- 规范 PoS 形式
规范 SoP 形式
规范 SoP 形式表示规范乘积和形式。在此形式中，每个乘积项包含所有文字。因此，这些乘积项只不过是最小项。因此，规范 SoP 形式也称为最小项和形式。
首先，确定输出变量为 1 的最小项，然后对这些最小项进行逻辑或运算，以获得与该输出变量相对应的布尔表达式(函数)。此布尔函数将采用最小项之和的形式。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量执行相同的程序。
示例
考虑以下真值表。
| 输入 | 输出 | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
这里，对于四种输入组合，输出 (f) 为"1"。相应的最小项为 p'qr、pq'r、pqr'、pqr。通过对这四个最小项进行逻辑或运算，我们将得到输出 (f) 的布尔函数。
因此，输出的布尔函数为 f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr。这是输出 f 的规范 SoP 形式。我们也可以用以下两种符号来表示这个函数。
$$\mathrm{f \: = \: m_{3} \: + \: m_{5} \: + \: m_{6} \: + \: m_{7}}$$
$$\mathrm{f \: = \: \sum \: m\left ( 3, \:5, \:6, \:7 \right )}$$
在一个方程中，我们将函数表示为各个最小项之和。在其他方程中，我们使用符号来表示这些最小项的和。
规范 PoS 形式
规范 PoS 形式表示和的规范乘积形式。在这种形式中，每个和项都包含所有文字。因此，这些和项只不过是最大项。因此，规范 PoS 形式也称为最大项的乘积形式。
首先，确定输出变量为零的最大项，然后对这些最大项进行逻辑与，以获得与该输出变量相对应的布尔表达式(函数)。此布尔函数将采用最大项乘积的形式。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量执行相同的程序。
示例
考虑上一个示例的相同真值表。在这里，对于四种输入组合，输出 (f) 为"0"。对应的Max项为p+q+r，p+q+r'，p+q'+r，p'+q+r。对这四个Max项进行逻辑与，可得到输出的布尔函数(f)。
因此，输出的布尔函数为，f = (p+q+r)·(p+q+r')·(p+q'+r)·(p'+q+r)。这是输出f的规范的PoS形式。我们也可以用以下两种符号来表示这个函数。
$$\mathrm{f \: = \: M_{0}\cdot M_{1} \cdot M_{2} \cdot M_{4}}$$
$$\mathrm{f \: = \: \prod M\left ( 0, \: 1, \: 2, \: 4 \right )}$$
在一个方程中，我们将函数表示为各个最大项的乘积。在其他方程中，我们使用符号来表示这些最大项的乘积。
布尔函数 f = (p + q + r)·(p + q + r')·(p + q' + r)·(p' + q + r) 是布尔函数 f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr 的对偶。
因此，规范 SoP 和规范 PoS 形式都是彼此对偶的。从功能上讲，这两种形式是相同的。根据需求，我们可以采用这两种形式中的一种。
标准 SoP 和 PoS 形式
我们讨论了表示布尔输出的两种规范形式。同样，也有两种表示布尔输出的标准形式。这些是规范形式的简化版本。
- 标准 SoP 形式
- 标准 PoS 形式
我们将在后面的章节中讨论逻辑门。标准形式的主要优点是可以最小化应用于逻辑门的输入数量。有时，所需的逻辑门总数会减少。
标准 SoP 形式
标准 SoP 形式意味着标准乘积和形式。在这种形式中，每个乘积项不需要包含所有文字。因此，乘积项可能是也可能不是最小项。因此，标准 SoP 形式是规范 SoP 形式的简化形式。
我们将分两步获得输出变量的标准 SoP 形式。
- 获取输出变量的规范 SoP 形式
- 简化上述布尔函数，它是规范 SoP 形式。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量执行相同的程序。有时，可能无法简化规范的 SoP 形式。在这种情况下，规范和标准 SoP 形式相同。
示例
将以下布尔函数转换为标准 SoP 形式。
$$\mathrm{f \: = \: p'qr \: + \: pq'r \: + \: pqr' \: + \: pqr}$$
给定的布尔函数是规范的 SoP 形式。现在，我们必须简化这个布尔函数以获得标准 SoP 形式。
步骤 1 −使用布尔公理，x + x = x。这意味着，对任何布尔变量进行"n"次逻辑或运算将等于同一个变量。因此，我们可以再写两次最后一个项 pqr。
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: p'qr \: + \: pq'r \: + \: pqr' \: + \: pqr \: + \: pqr \: + \: pqr}$$
步骤 2 −对第一项和第四项、第二项和第五项、第三项和第六项使用分配律。
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr(p' + p) \: + \: pr(q' + q) \: + \: pq(r' + r)}$$
步骤 3 −使用布尔公理，x + x' = 1 来简化每个括号中的项。
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr(1) \: + \: pr(1) \: + \: pq(1)}$$
步骤 4 −使用布尔公理，x.1 = x 来简化上述三个项。
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: qr \: + \: pr \: + \: pq}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: pq \: + \: qr \: + \: pr}$$
这是简化的布尔函数。因此，给定规范 SoP 形式对应的 标准 SoP 形式 为 f = pq + qr + pr
标准 PoS 形式
标准 PoS 形式表示 标准和积 形式。在这种形式中，每个和项不必包含所有文字。因此，和项可能是也可能不是最大项。因此，标准 PoS 形式是规范 PoS 形式的简化形式。
我们将分两步获得输出变量的标准 PoS 形式。
- 获取输出变量的规范 PoS 形式
- 简化上述布尔函数，它是规范 PoS 形式。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量遵循相同的程序。有时，可能无法简化规范的 PoS 形式。在这种情况下，规范和标准 PoS 形式是相同的。
示例
将以下布尔函数转换为标准 PoS 形式。
$$\mathrm{f \: = \: (p + q + r)\cdot(p + q + r')\cdot(p + q' + r)\cdot(p' + q + r)}$$
给定的布尔函数是规范的 PoS 形式。现在，我们必须简化此布尔函数以获得标准 PoS 形式。
步骤 1 − 使用布尔公理，x · x = x。这意味着，对任何布尔变量进行"n"次逻辑与运算都将等于同一个变量。因此，我们可以再写两次第一个项 p+q+r。
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + r)\cdot(p + q + r)\cdot(p + q + r)\cdot(p + q + r')\cdot(p +q' + r)\cdot(p' + q + r)}$$
步骤 2 −使用分配律 x + (y · z) = (x + y)·(x + z) 作为第一和第四个括号、第二和第五个括号、第三和第六个括号。
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + rr')\cdot(p + r + qq')\cdot(q + r + pp')}$$
步骤 3 −使用布尔公理，x.x'=0 来简化每个括号中的项。
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q + 0)\cdot(p + r + 0)\cdot(q + r + 0)}$$
步骤 4 −使用布尔公理，x + 0 = x 简化每个括号中的项
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q)\cdot(p + r)\cdot(q + r)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \: f \: = \: (p + q)\cdot(q + r)\cdot(p + r)}$$
这是简化的布尔函数。因此，与给定的规范 PoS 形式相对应的 标准 PoS 形式 是 f = (p + q)·(q + r)·(p + r)。这是布尔函数 f = pq + qr + pr 的对偶。
因此，标准 SoP 形式和标准 PoS 形式都是彼此对偶的。
