NumPy - 线性代数

NumPy 中的线性代数

线性代数是数学的一个分支，它处理向量、矩阵和线性变换。

NumPy 包包含 numpy.linalg 模块，该模块提供了线性代数所需的所有功能。下表列出了该模块中的一些重要函数。

创建矩阵

在 NumPy 中，我们可以使用数组创建矩阵。矩阵只是二维数组，可以使用 np.array() 函数创建。您可以将矩阵的元素指定为嵌套列表。

示例

以下是一个基本示例，我们创建一个由两行三列组成的矩阵 -

import numpy as np

# 创建一个 2x3 矩阵
matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print("Matrix:
", matrix)

以下是得到的输出 -

矩阵:
[[1 2 3]
 [4 5 6]]

矩阵运算

矩阵运算是线性代数的基础，涉及对矩阵进行算术运算。在 NumPy 中，您可以轻松执行矩阵的加、减、乘和转置运算。

矩阵加法和减法

矩阵加法和减法是逐元素执行的。这意味着每个矩阵中的相应元素会被加上或减去。执行这些运算时，两个矩阵必须具有相同的形状。

示例

在下面的示例中，我们使用两个 2x2 NumPy 数组 A 和 B 执行逐元素矩阵加法和减法 -

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 矩阵加法
C = A + B
print("矩阵加法:
", C)

# 矩阵减法
D = A - B
print("矩阵减法:
", D)

这将产生以下结果 -

矩阵加法:
[[ 6 8]
[10 12]]
矩阵减法:
[[-4 -4]
[-4 -4]]

矩阵乘法

矩阵乘法可以使用 @ 运算符或 np.dot() 函数完成。与元素乘法不同，矩阵乘法涉及对行和列的乘积求和。

示例

这里，我们使用 @ 运算符和 np.dot() 函数对两个 2x2 NumPy 数组 A 和 B 执行矩阵乘法 -

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[5, 6], [7, 8]])

# 矩阵乘法
C = A @ B
print("使用 @ 的矩阵乘法:
", C)

D = np.dot(A, B)
print("使用np.dot():
", D)

以下是上述代码的输出 -

使用 @ 进行矩阵乘法:
[[19 22]
[43 50]]
使用 np.dot() 进行矩阵乘法:
[[19 22]
[43 50]]

矩阵转置

矩阵的转置是通过沿对角线翻转矩阵得到的，实际上是将行与列交换。这可以使用 .T 属性实现。

示例

在这里，我们转置一个 2x2 的 NumPy 数组 A 以获得其转置 A_T −

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 转置矩阵
A_T = A.T
print("转置 A:
", A_T)

得到的输出如下所示 −

转置 A:
[[1 3]
[2 4]]

行列式 &逆

行列式指示矩阵是否可逆(非奇异)。如果矩阵的行列式非零，则该矩阵可逆。相反，如果行列式为零，则该矩阵为奇异矩阵，不可逆。它也用于 -

• 解线性方程。
• 改变积分中的变量。
• 计算面积和体积。
• 定义方阵的特征多项式。

矩阵的逆是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。

A X A-1 = A-1 = I

NumPy 提供了各种函数来计算矩阵的行列式和逆。

计算行列式

我们可以使用 linalg.det() 函数计算矩阵的行列式。它内部使用 LAPACK 例程来计算行列式(通过 LU 分解)。

示例

在下面的示例中，我们使用 np.linalg.det() 函数计算 2x2 NumPy 数组 A 的行列式 -

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 矩阵的行列式
det = np.linalg.det(A)
print("A 的行列式:", det)

执行上述代码后，我们得到以下输出 -

A 的行列式: -2.00000000000000004

计算逆矩阵

我们可以使用 linalg.inv() 函数计算矩阵的逆矩阵。

示例

这里，我们使用 np.linalg.inv() 函数计算 2x2 NumPy 数组 A 的逆矩阵 -

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 矩阵的逆
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("A 的逆:
", A_inv)

结果如下 −

A 的逆:
[[-2. 1. ]
[ 1.5 -0.5]]

特征值和特征向量

特征值和特征向量是理解线性变换的基础。它们可以使用 np.linalg.eig() 函数计算。

特征值表示变换的幅度，而特征向量表示方向。

示例

在下面的示例中，我们使用 np.linalg.eig() 函数计算 2x2 NumPy 数组 A 的特征值和特征向量。 A −

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("特征值:",特征值)
print("特征向量:
", 特征向量)

我们得到如下所示的输出 −

特征值:[-0.37228132 5.37228132]
特征向量:
[[-0.82456484 -0.41597356]
[ 0.56576746 -0.90937671]]

求解线性方程组

在 Numpy 中，可以使用 np.linalg.solve() 函数求解线性方程组。此函数用于查找满足矩阵方程表示的线性方程的变量值 -

Ax = b

其中，A 表示矩阵，b 表示向量。

示例

在此示例中，我们正在求解由矩阵方程 Ax=b 表示的线性方程组，其中 A 是一个 2x2 矩阵，b 是一个向量。我们使用 np.linalg.solve() 函数计算满足以下方程的 x 值:-

import numpy as np
A = np.array([[3, 1], [1, 2]])
b = np.array([9, 8])

# 求解线性系统 Ax = b
x = np.linalg.solve(A, b)
print("线性系统的解:", x)

以下是得到的输出:-

线性系统的解:[2. 3.]

奇异值分解 (SVD)

SVD 是将矩阵分解为三个矩阵:U(左奇异向量)、S(奇异值)和 V(右奇异向量)。它在各种应用中都很有用，包括信号处理和统计。

您可以使用 NumPy 中的 np.linalg.svd() 函数执行 SVD。

示例

在下面的示例中，我们对 2x2 矩阵 A 执行奇异值分解 (SVD)，将其分解为三个分量:U、S 和 V -

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 执行 SVD
U, S, V = np.linalg.svd(A)
print("U 矩阵:
", U)
print("Sigma 值:", S)
print("V 矩阵:
", V)

这将产生以下结果 −

U 矩阵:
[[-0.40455358 -0.9145143 ]
[-0.9145143 0.40455358]]
Sigma 值:[5.4649857 0.36596619]
V 矩阵:
[[-0.57604844 -0.81741556]
[ 0.81741556 -0.57604844]]

范数和条件

范数测量向量和矩阵的大小或长度，有助于量化其量级。条件数值表示矩阵解对其输入变化的敏感度，从而表明其数值求解的精度。

计算范数

范数测量向量和矩阵的大小或长度。我们可以使用 NumPy 的 linalg.norm() 函数来计算不同类型的范数，例如 Frobenius 范数和欧几里得范数。

示例

在下面的例子中，我们计算 2x2 矩阵 A 的 Frobenius 范数，该范数衡量了矩阵的整体大小，类似于向量的欧几里得范数。

我们还计算三维向量的 L2 范数(欧几里得范数)，该范数量化了向量在空间中的长度 -

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# Frobenius 范数
norm = np.linalg.norm(A, 'fro')
print("A 的 Frobenius 范数:", norm)

# L2 范数(欧几里得范数)
vector = np.array([1, 2, 3])
l2_norm = np.linalg.norm(vector)
print("向量的 L2 范数:", l2_norm)

以下是上述代码的输出 -

A 的 Frobenius 范数:5.477225575051661
向量的 L2 范数:3.7416573867739413

计算条件

矩阵的条件数衡量线性系统解对数据误差的敏感程度。

可以使用 NumPy 计算linalg.cond() 函数。条件数越高，矩阵越接近奇异矩阵，精确求解线性方程组就越困难。

示例

此处，我们计算 2x2 矩阵 A 的条件数 −

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 条件数
cond = np.linalg.cond(A)
print("A 的条件数:", cond)

输出结果如下 −

A 的条件数:14.933034373659268