NumPy - 求多项式的根

在 NumPy 中求多项式的根

求多项式的根意味着确定多项式等于零时 x 的值。在 NumPy 中，你可以使用 numpy.roots() 函数求多项式的根。

根是各种数学应用中的基础，例如求解方程、优化问题，以及在信号处理或数值分析中分析多项式的行为。

numpy.roots() 函数

numpy.roots() 函数将多项式的系数作为输入，并返回多项式的根。

多项式以其系数表示，从最高幂开始，到常数项结束。该函数用于求多项式的所有根，包括实数根和复数根。

示例

在本例中，我们使用 NumPy 中的 roots() 函数求由公式定义的多项式的根 -

import numpy as np

# 定义多项式的系数 1x - 6x + 11x - 6
coefficients = np.array([1, -6, 11, -6])

# 使用 numpy.roots 求多项式的根
roots = np.roots(coefficients)

print("多项式的根:", roots)

给定多项式的根求法如下 -

根多项式:[3. 2. 1.]

实根和复根

NumPy 可以处理实根和复根。如果多项式有复根，numpy.roots() 会将其作为复数返回。例如，没有实根的二次多项式的根将显示为复数。

示例:求复数根

在本例中，我们使用 numpy.roots() 函数求二次多项式的根 -

import numpy as np

# 定义多项式 x + 1 的系数
coefficients_complex = np.array([1, 0, 1])

# 使用 numpy.roots 求多项式的根
roots_complex = np.roots(coefficients_complex)

print("复数多项式的根:", roots_complex)

求复数多项式根的结果如下所示 -

复数多项式的根:[-0.+1.j  0.-1.j]

验证根

找到根后，验证它们是否满足原多项式方程通常很有用。这可以通过将根代回多项式并检查结果是否接近零来实现。

示例

在此示例中，我们通过计算多项式的根来验证多项式的根 -

import numpy as np

# 定义多项式系数
coefficients = np.array([1, -6, 11, -6])

# 求多项式的根
roots = np.roots(coefficients)

# 通过计算多项式的根来验证根
verification = np.polyval(coefficients, roots)

print("验证结果:", validation)

验证结果(所有根都应接近于零)为 -

验证结果:[3.55271368e-15 2.66453526e-15 0.00000000e+00]

处理高次多项式

NumPy roots() 函数能够求任意次数的多项式的根。随着多项式次数的增加，根的数量也会增加。该函数将返回给定多项式的所有根，包括实数根和复数根。

示例

在本例中，我们使用 roots() 函数求一个五次多项式的根 -

import numpy as np

# 定义多项式的系数 1x - 3x + 5x - 7x + 11x - 13
coefficients_high_degree = np.array([1, -3, 5, -7, 11, -13])

# 使用 numpy.roots 求多项式的根
roots_high_degree = np.roots(coefficients_high_degree)

print("高次多项式的根:", roots_high_degree)

求根的结果高次多项式的根如下:-

高次多项式的根: [-0.56466348+1.42799478j -0.56466348-1.42799478j  1.18589358+1.31548183j
1.18589358-1.31548183j  1.7575398 +0.j        ]