NumPy - 快速傅里叶变换

NumPy 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换 (FFT) 是一种计算离散傅里叶变换 (DFT) 及其逆变换的快速方法。它通过将计算时间从 O(n²) 缩短到 O(nlogn) 来加速计算过程，使其速度更快，尤其是在处理大型数据集时。

在 NumPy 中，您可以使用 fft 模块计算 FFT，该模块包含用于一维和多维 FFT 计算的函数。

使用 fft() 函数计算 FFT

numpy.fft.fft() 函数计算数组的一维 n 点 FFT。它将信号从时域变换到频域。

fft(x) = 输入数组 x 的快速傅里叶变换

示例:计算 FFT

在以下示例中，我们使用 fft() 函数计算一维数组(信号)的快速傅里叶变换 -

import numpy as np

# 定义一个简单的信号
signal = np.array([1, 2, 3, 4])

# 计算信号的快速傅里叶变换
fft_signal = np.fft.fft(signal)

print("信号的 FFT:", fft_signal)

我们得到如下所示的输出−

信号的 FFT:[10.+0.j -2.+2.j -2.+0.j -2.-2.j]

计算逆 FFT

numpy.fft.ifft() 函数计算快速傅里叶变换的逆，将频率分量转换回原始时域信号。这在您想要根据信号的频率表示重建信号时非常有用。

ifft(x) = 输入数组 x 的逆快速傅里叶变换

示例:逆 FFT

在以下示例中，我们使用 NumPy 的 ifft() 函数计算先前计算的 FFT 的逆 FFT -

import numpy as np

# 定义信号的 FFT(先前计算)
fft_signal = np.array([10+0j, -2+2j, -2+0j, -2-2j])

# 计算逆快速傅里叶变换
reconstructed_signal = np.fft.ifft(fft_signal)

print("重构信号:", reconstructed_signal)

结果如下 −

重构信号: [1.+0.j 2.+0.j 3.+0.j 4.+0.j]

计算实数信号的 FFT

numpy.fft.rfft() 函数已针对计算实数输入信号的 FFT 进行了优化。此函数仅返回非负频率项，因为负频率项对于实值信号来说是多余的。

rfft(x) = 实值输入数组 x 的 FFT

示例:实信号的 FFT

在以下示例中，我们使用 NumPy 的 rfft() 函数计算实值信号的快速傅里叶变换 -

import numpy as np

# 定义一个实值信号
signal = np.array([1, 2, 3, 4])

# 计算实值信号的快速傅里叶变换
fft_real_signal = np.fft.rfft(signal)

print("实值信号的 FFT:", fft_real_signal)

执行上述代码后，我们得到以下输出 -

实值信号的 FFT:[10.+0.j -2.+2.j -2.+0.j]

计算实信号的逆 FFT

numpy.fft.irfft() 函数计算实值信号的 FFT 逆，从其非负频率重建原始时域信号组件。

irfft(x) = 实数输入数组 x 的逆 FFT

示例:实数信号的逆 FFT

在以下示例中，我们计算实数信号的逆 FFT −

import numpy as np

# 定义实值信号的 FFT(先前计算)
fft_real_signal = np.array([10+0j, -2+2j])

# 计算实值 FFT 的逆 FFT
reconstructed_real_signal = np.fft.irfft(fft_real_signal)

print("重构的实值信号:", reconstructed_real_signal)

得到的输出如下所示 -

重构的实值信号:[4. 6.]

使用 fftfreq() 函数进行频率分箱

numpy.fft.fftfreq() 函数用于生成与 FFT 分量对应的采样频率数组。这对于绘制信号的频率分量或分析其频谱内容非常有用。

fftfreq(n, d=1) = 对应于具有 n 个点、间隔为 d 的数组的 FFT 的频率

示例:频率分箱

在以下示例中，我们生成对应于信号 FFT 的频率 -

import numpy as np

# 定义 FFT 中的点数和样本间距
n_points = 4
spacing = 1

# 生成对应于 FFT 的频率
frequencies = np.fft.fftfreq(n_points, Spacing)

print("对应于 FFT 的频率:", Frequencies)

以下是上述代码的输出代码 −

FFT 对应的频率:[ 0.    0.25 -0.5  -0.25]

在多维数组中使用 FFT

NumPy 的 fft 模块也支持多维数组，允许您沿数组的特定轴计算 FFT。 numpy.fft.fftn() 函数计算 n 维 FFT，而 numpy.fft.ifftn() 函数计算 n 维 FFT 的逆。

fftn(x) = 数组 x 的 N 维快速傅里叶变换

示例:二维 FFT

在以下示例中，我们计算二维数组的二维 FFT -

import numpy as np

# 定义二维信号
signal_2d = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算二维快速傅里叶变换
fft_2d_signal = np.fft.fftn(signal_2d)

print("信号的二维 FFT:", fft_2d_signal)

这将产生以下结果 -

信号的二维 FFT:
[[10.+0.j -2.+0.j]
 [-4.+0.j  0.+0.j]]