NumPy - 卷积

NumPy 卷积

NumPy 中的卷积是一种数学运算，用于以特定方式组合两个数组(例如信号或图像)以生成第三个数组。此运算有助于过滤、平滑和检测数据中的特征。

执行卷积时，将一个数组(称为核或滤波器)滑到另一个数组(输入)上，并计算每个位置上元素乘积的总和。此过程增强了输入数组的某些方面，例如图像的边缘或信号中的特定频率。

在 NumPy 中，您可以使用 numpy.convolve() 函数(针对一维数组)和 scipy.ndimage.convolve() 函数(针对多维数组)来执行卷积，这在信号处理和图像分析中被广泛使用。

一维卷积

一维卷积在信号处理中被广泛使用。它涉及将一个信号(核)滑动到另一个信号(输入信号)上，并计算每个位置的点积。

示例:一维卷积

在以下示例中，我们使用 NumPy 对输入信号和核执行一维卷积 -

import numpy as np

# 定义输入信号
input_signal = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

# 定义卷积核
kernel = np.array([0.2, 0.5, 0.2])

# 执行一维卷积
convolved_signal = np.convolve(input_signal, kernel, mode='same')

print("输入信号:",input_signal)
print("kernel 函数:", kernel)
print("卷积信号:", convolved_signal)

结果显示输入信号、核函数和卷积信号 −

输入信号:[1 2 3 4 5 6 7 8 9]
kernel 函数:[0.2 0.5 0.2]
卷积信号:[0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.4 6.3 7.2 6.1]

二维卷积

二维卷积广泛应用于图像处理，例如模糊、锐化和边缘检测等任务。它涉及将二维核在二维输入数组(图像)上滑动，并计算每个位置的点积。

示例:二维卷积

在以下示例中，我们使用一个核对示例图像执行二维卷积 -

import numpy as np
from scipy.signal import convolve2d

# 定义示例图像(二维数组)
image = np.array([
[1, 2, 3, 4],
[5, 6, 7, 8],
[9, 10, 11, 12],
[13, 14, 15, 16]
])

# 定义二维卷积核
kernel = np.array([
[0.1, 0.2, 0.1],
[0.2, 0.4, 0.2],
[0.1, 0.2, 0.1]
])

# 执行二维卷积
convolved_image = convolve2d(image, kernel, mode='same', boundaries='fill', fillvalue=0)

print("图像:
", image)
print("Kernel:
", kernel)
print("卷积图像:
", convolved_image)

结果显示原始图像、核和卷积图像 -

图像:
[[ 1  2  3  4]
 [ 5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12]
 [13 14 15 16]]
Kernel:
[[0.1 0.2 0.1]
 [0.2 0.4 0.2]
 [0.1 0.2 0.1]]
卷积图像:
[[ 2.4 4. 5.2 4.5]
[ 6.4 9.6 11.2 9.2]
[11.2 16. 17.6 14. ]
[10.8 15.2 16.4 12.9]]

3D 卷积

三维卷积广泛应用于各种应用，例如 3D 图像处理、视频处理和体数据分析。它涉及将 3D 核在 3D 输入数组上滑动，并计算每个位置的点积。

示例:3D 卷积

在以下示例中，我们对一个示例 3D 数组执行 3D 卷积 -

import numpy as np
from scipy.ndimage import convolve

# 定义一个示例 3D 数组
array_3d = np.random.rand(4, 4, 4)

# 定义一个 3D 卷积核
kernel_3d = np.ones((3, 3, 3)) / 27

# 执行 3D 卷积
convolved_3d = convolve(array_3d, kernel_3d, mode='constant', cval=0.0)

print("3D 数组:
", array_3d)
print("Kernel:
", kernel_3d)
print("卷积后的 3D 数组:
", convolved_3d)

结果显示原始 3D 数组、核函数和卷积后的 3D 数组 -

3D 数组:
[[[0.46186776 0.09130699 0.36913034 0.51669149]
  [0.90316515 0.38362845 0.90886156 0.60454144]
  [0.80756784 0.28656032 0.73140925 0.75789388]
  [0.36958966 0.66157156 0.19902489 0.89519004]]
[[0.04953332 0.98571523 0.80654445 0.47526839]
  [0.67375222 0.31837149 0.20836025 0.10996474]
  [0.48799518 0.34754979 0.85689208 0.21079349]
  [0.91936308 0.79818294 0.18737238 0.01728286]]
[[0.50793178 0.93691426 0.00515023 0.29870646]
  [0.22871996 0.3098202  0.0396516  0.98755326]
  [0.3347781  0.56108282 0.89520242 0.77143481]
  [0.64504437 0.0133608  0.61686021 0.01443242]]
[[0.96126985 0.11224998 0.79332687 0.0438432 ]
  [0.39348891 0.36066344 0.06157876 0.29697117]
  [0.40409768 0.88212056 0.22872878 0.7545221 ]
  [0.09578231 0.06486727 0.94749091 0.79605238]]]
Kernel:
[[[0.03703704 0.03703704 0.03703704]
  [0.03703704 0.03703704 0.03703704]
  [0.03703704 0.03703704 0.03703704]]
[[0.03703704 0.03703704 0.03703704]
  [0.03703704 0.03703704 0.03703704]
  [0.03703704 0.03703704 0.03703704]]
[[0.03703704 0.03703704 0.03703704]
  [0.03703704 0.03703704 0.03703704]
  [0.03703704 0.03703704 0.03703704]]]
卷积后的 3D 数组:
[[[0.14323484 0.22815693 0.21401425 0.14812454]
  [0.21470421 0.35845228 0.3322031  0.24282783]
  [0.25767769 0.37219326 0.3142019  0.21065136]
  [0.17327335 0.24641033 0.22036013 0.14280959]]
[[0.21669359 0.30327501 0.30948818 0.19742312]
  [0.32134299 0.49990604 0.51018517 0.35385371]
  [0.33518903 0.5071755  0.47010555 0.3338045 ]
  [0.23083876 0.35997806 0.32674433 0.2279181 ]]
[[0.21623817 0.28714973 0.26483904 0.15284887]
  [0.32800203 0.47227742 0.46885114 0.29053678]
  [0.29033486 0.44004365 0.43174681 0.29633869]
  [0.20571203 0.34395451 0.33200848 0.23322462]]
[[0.14115031 0.17447281 0.15727516 0.0935845 ]
  [0.22196806 0.29691764 0.30887114 0.19172851]
  [0.15903061 0.26234589 0.31860718 0.23742514]
  [0.11115311 0.21071912 0.2424502  0.18610089]]]

卷积的应用

卷积的应用范围很广，例如:-

• 图像处理:模糊、锐化、边缘检测和特征提取。
• 信号处理:对音频和通信信号进行滤波、平滑和降噪。
• 机器学习:卷积神经网络 (CNN) 使用卷积层进行特征提取，用于图像识别和自然语言处理等任务。
• 时间序列分析:卷积可用于平滑或滤波时间序列数据。