NumPy - 求解线性方程

什么是求解线性方程?

线性方程是包含线性项的数学方程，这意味着变量的最高幂为 1。

线性方程组可以表示为一组包含多个变量的方程。目标是找到这些变量的值，使它们同时满足所有方程。

以矩阵形式，线性方程组可以表示为 −

A * x = b

其中，

• A:表示线性方程系数的矩阵。
• x:表示未知变量的列向量。
• b:表示方程右边常数的列向量。

目标是找到向量 x，它包含未知变量的值。 NumPy 提供了使用矩阵运算求解此类方程组的方法。

在 NumPy 中求解线性方程

NumPy 提供了多种求解线性方程的方法。最常用的方法是使用 numpy.linalg.solve() 函数，该函数直接求解线性方程组。

示例

以下示例中，方程组 −

3x + 2y = 5
x + 2y = 5

已求解，得到解 x = 1 和 y = 2。

import numpy as np

# 定义系数矩阵 A 和常量向量 b
A = np.array([[3, 2], [1, 2]])
b = np.array([5, 5])

# 求解线性方程组
x = np.linalg.solve(A, b)

print("解向量 x:", x)

以下是得到的输出 −

解向量 x: [0. 2.5]

numpy.linalg.solve() 函数

numpy.linalg.solve(A, b) 函数计算线性方程组 A * x = b 的解。该函数接受两个参数:

• A:系数矩阵(二维 NumPy 数组)。
• b:常量向量(一维 NumPy 数组)。

该函数返回满足方程的解向量 x。该函数使用高效方法(例如高斯消元法或 LU 分解)来求解系统。

求解线性方程的其他方法

除了 numpy.linalg.solve() 函数之外，NumPy 还提供了其他求解线性方程的方法，例如使用矩阵求逆或 numpy.dot() 函数。

当你需要更好地控制求解过程或想要探索求解线性系统的数学背景时，这些方法非常有用。

使用矩阵求逆

求解线性方程组的一种方法是求系数矩阵 A 的逆。如果 A 可逆，则可以通过将 A 的逆乘以向量 b 来找到解:

x = A-1 * b

NumPy 提供了 numpy.linalg.inv() 函数来计算矩阵的逆。让我们看看如何使用它 -

import numpy as np

# 定义系数矩阵 A 和常量向量 b
A = np.array([[3, 2], [1, 2]])
b = np.array([5, 5])

# 计算 A 的逆
A_inv = np.linalg.inv(A)

# 使用矩阵求逆求解方程组
x = np.dot(A_inv, b)

print("解向量 x:", x)

以下是得到的输出 -

解向量 x: [4.4408921e-16 2.5000000e+00]

此方法也产生与 numpy.linalg.solve() 函数相同的结果。但是，对于大型矩阵，使用矩阵求逆的计算成本更高且稳定性更差。

使用 numpy.linalg.lstsq() 函数

如果方程组是超定的(方程组多于未知数)，则可以使用最小二乘解。

numpy.linalg.lstsq() 函数用于求解此类方程组的最小二乘解。它最小化了观测值和预测值之间的误差。

让我们看一个例子 -

import numpy as np

# 定义一个超定系统(方程组多于未知数)
A = np.array([[1, 1], [2, 1], [3, 1]])
b = np.array([6, 8, 10])

# 使用最小二乘法求解系统
x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)

print("解向量 x:", x)

最小二乘解最小化了系统中的误差，在本例中，它找到了未知数 x 和y −

解向量 x: [2. 4.]

求解线性方程的应用

求解线性方程在各个领域都有广泛的应用，例如:-

• 物理学:线性方程用于模拟物理系统，例如电路、运动和能量传递。
• 经济学:经济学家使用线性系统来模拟变量之间的关系，例如供需、生产和消费。
• 计算机图形学:在图形编程中，线性方程用于转换、渲染和 3D 建模。
• 机器学习:求解线性方程是线性回归和优化问题等算法中的关键步骤。

求解线性方程的优势

使用 NumPy 求解线性方程具有有几个优点，它们是:

• 效率:NumPy 针对性能进行了优化，使其比手动求解方程快得多。
• 易用性:NumPy 提供了简单的函数，例如 linalg.solve() 和 linalg.lstsq()，这些函数可以以最小的努力处理复杂的计算。
• 稳健性:NumPy 可以高效地处理边缘情况，例如奇异矩阵或病态矩阵。
• 多功能性:NumPy 可以处理具有任意数量方程和未知数的系统，使其适用于广泛的问题。