NumPy - 泊松分布

什么是泊松分布?

泊松分布的特征在于一个参数 (lambda)，即给定区间内事件的平均数量。泊松分布的概率质量函数 (PMF) 给出了在区间内观察到 k 个事件的概率，定义为 −

P(X = k) = (k * e(-)) / k!

其中:

• :表示区间内事件的平均数量。
• k:表示事件的数量。
• e:表示欧拉常数(约为 2.71828)。

NumPy 中的泊松分布

NumPy 提供了 numpy.random.poisson() 函数来生成符合泊松分布的样本。您可以指定平均速率 () 和生成样本的大小。

示例

在此示例中，我们从泊松分布中生成 10 个随机样本，平均每个间隔发生 3 次事件 -

import numpy as np

# 从泊松分布中生成 10 个随机样本，样本数 =3
samples = np.random.poisson(lam=3, size=10)
print("泊松分布的随机样本:", sample)

以下是得到的输出 -

泊松分布的随机样本:[3 1 2 2 1 1 2 5 5 3]

泊松分布的可视化

泊松分布的可视化有助于更好地理解其特性。我们可以使用 Matplotlib 等库来创建直方图，以显示生成样本的分布。

示例

在下面的示例中，我们首先从 σ =3 的泊松分布中生成随机样本。然后，我们创建一个直方图来可视化此分布 -

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 从泊松分布中生成 1000 个随机样本，样本数 =3
samples = np.random.poisson(lam=3, size=1000)

# 创建一个直方图来可视化此分布
plt.hist(samples, bins=range(10), edgecolor='black', density=True)
plt.title('泊松分布')
plt.xlabel('事件数')
plt.ylabel('频率')
plt.xticks(range(10))
plt.show()

直方图显示了泊松试验中事件数的频率。条形表示每种可能结果的概率，构成泊松分布的特征形状 -

泊松分布的应用

泊松分布在各个领域都有应用，用于模拟事件随时间或空间发生的情形。以下是一些实际应用 -

• 交通工程: 对通过检查站的汽车数量进行建模。
• 金融: 对证券交易所执行的交易数量进行建模。
• 排队论: 对到达服务点的顾客数量进行建模。

生成累积泊松分布

有时，我们对泊松分布的累积分布函数 (CDF) 感兴趣，它给出了区间内最多包含 k 个事件的概率。

NumPy 没有内置的泊松分布 CDF 函数，但我们可以使用循环和 SciPy 库中的 scipy.stats.poisson.cdf() 函数来计算它。库。

示例

在下面的示例中，我们在 NumPy 中生成累积泊松分布 -

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import poisson

# 定义平均发生率
lam = 3

# 生成累积分布函数 (CDF) 值
x = np.arange(0, 10)
cdf = poisson.cdf(x, lam)

# 绘制累积分布函数 (CDF)
plt.plot(x, cdf, marker='o', linestyle='-', color='b')
plt.title('累积泊松分布')
plt.xlabel('事件数')
plt.ylabel('累积概率')
plt.grid(True)
plt.show()

该图显示了泊松试验中达到并包含每个事件数的累积概率。 CDF 是一个阶跃函数，随着事件数量的增加而增加到 1。-

泊松分布的性质

泊松分布有几个关键性质，它们是:-

• 离散性:泊松分布是离散的，这意味着它只接受整数值。
• 均值和方差:泊松分布的均值和方差都等于。
• 偏度:分布向右偏斜，尤其是较小的值。

用于假设检验的泊松分布

泊松分布通常用于假设检验，尤其是在事件计数检验中。

泊松检验是一种常见的检验方法，用于确定观察到的事件数是否与预期数存在显著差异。以下是一个使用 scipy.stats.poisson() 函数的示例。

示例

在此示例中，我们执行泊松检验来确定观察到的事件数 (10) 是否与预期发生率 (5) 存在显著差异。 p值表示假设零假设成立，获得至少与观察结果同样极端的结果的概率 -

from scipy.stats import poisson

# 观察到的事件数
observed_events = 10

# 预期事件数(平均发生率)
expected_rate = 5

# 执行泊松检验
p_value = poisson.sf(observed_events-1, expected_rate)
print("泊松检验的P值:", p_value)

得到的输出如下所示 -

泊松检验的P值:0.03182805730620481

种子可重复性

为了确保可重复性，您可以在生成泊松分布之前设置特定的种子。这样可以确保每次运行代码时都生成相同的随机数序列。

示例

通过设置种子，可以确保每次执行代码时随机生成的结果都相同，如下例所示 -

import numpy as np

# 设置种子以提高可重复性
np.random.seed(42)

# 从泊松分布中生成 10 个随机样本，样本数为 =3
samples = np.random.poisson(lam=3, size=10)
print("种子为 42 的随机样本:", sample)

生成的结果如下 -

种子为 42 的随机样本:[4 1 3 3 2 3 2 3 0 2]