NumPy - 特征向量

什么是特征向量?

特征向量是与矩阵相关的特殊向量，提供有关矩阵属性的信息。

在线性代数中，如果 A 是方阵，则与特征值 对应的特征向量 v 是满足方程 −

Av = v

这意味着，当矩阵 A 与向量 v 相乘时，结果与向量 v 乘以标量 相同。

计算特征向量NumPy

NumPy 提供了 numpy.linalg.eig() 函数来计算方阵的特征值和特征向量。让我们通过一个例子来了解这个函数是如何工作的。

示例

在本例中，矩阵 A 的特征值分别为 3 和 2。相应的特征向量显示在输出中 -

import numpy as np

# 定义一个 2x2 矩阵
A = np.array([[4, -2],
[1, 1]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:
", eigenvectors)

输出numpy.linalg.eig() 函数包含两个数组:一个用于存储特征值，一个用于存储特征向量。

特征值数组包含矩阵的特征值，特征向量数组的每一列代表与各个特征值对应的特征向量 -

特征值:[3. 2.]
特征向量:
[[ 0.89442719 0.70710678]
[ 0.4472136 -0.70710678]]

特征向量的性质

特征向量有几个重要的性质，它们是:-

• 线性:对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。
• 可伸缩性:特征向量的任何标量倍数也是对应于同一特征值的特征向量。
• 不变性:在矩阵定义的线性变换下，特征向量保持不变(最多为标量倍数)。
• 正交性:在对于对称矩阵，不同特征值对应的特征向量是正交的。

特征向量的应用

特征向量的应用非常广泛，它们是:

• 主成分分析 (PCA): 用于数据分析和机器学习中的降维。
• 稳定性分析: 用于控制理论，以分析系统的稳定性。
• 量子力学: 用于求解薛定谔方程并确定系统的能级。
• 振动分析: 用于工程分析结构的固有频率。
• 图论: 用于分析图和网络的属性。

示例:特征向量3x3 矩阵的特征值和特征向量 -

以下示例中，我们使用 NumPy 计算 3x3 矩阵的特征值和特征向量 -

import numpy as np

# 定义一个 3x3 矩阵
B = np.array([[1, 2, 3],
[0, 1, 4],
[5, 6, 0]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(B)

print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:
", eigenvectors)

结果如下 -

特征值:[-5.2296696 -0.02635282 7.25602242]
特征向量:
[[ 0.22578016 -0.75769839 -0.49927017]
 [ 0.52634845  0.63212771 -0.46674201]
 [-0.81974424 -0.16219652 -0.72998712]]

对称矩阵和实特征向量

对称矩阵是指等于其转置矩阵的矩阵(即 A = A^T)。对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊性质 -

• 实特征值:对称矩阵的特征值始终为实数。
• 正交特征向量:对称矩阵中对应于不同特征值的特征向量是正交的。

示例

计算对称矩阵的特征值和特征向量 -

import numpy as np

# 定义对称矩阵
C = np.array([[4, 1, 1],
[1, 4, 1],
[1, 1, 4]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(C)

print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:
", eigenvectors)

以下是上述代码的输出 −

特征值: [6. 3. 3.]
特征向量:
[[-0.57735027 -0.81649658 -0.15430335]
[-0.57735027 0.40824829 -0.6172134 ]
[-0.57735027 0.40824829 0.77151675]]

特征向量与对角化

如果方阵A可以写成−，则称其可对角化。

A = PDP-1

其中，D是包含A特征值的对角矩阵，并且P 是一个矩阵，其列是 A 的特征向量。

示例

让我们看看如何使用 NumPy 对矩阵进行对角化 -

import numpy as np

# 定义一个矩阵
D = np.array([[2, 0, 0],
[1, 3, 0],
[4, 5, 6]])

# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(D)

# 特征值的对角矩阵
D_diag = np.diag(eigenvalues)

# 重建原始矩阵
reconstructed_D = eigenvectors @ D_diag @ np.linalg.inv(特征向量)

print("原始矩阵:
", D)
print("重构矩阵:
", reconstructed_D)

原始矩阵已成功利用其特征值和特征向量重构，并演示了对角化的过程 -

原始矩阵:
[[2 0 0]
[1 3 0]
[4 5 6]]
重构矩阵:
 [[2. 0. 0.]
 [1. 3. 0.]
 [4. 5. 6.]]