网络理论 - 串联谐振

谐振是由于电感器和电容器等储能元件的存在而发生在电路中的。这是基本概念，无线电和电视接收器的设计应使其能够仅选择所需的电台频率。

谐振有两种类型，即串联谐振和并联谐振。这些谐振根据串联或并联连接的网络元件进行分类。在本章中，让我们讨论串联谐振。

串联谐振电路图

如果谐振发生在串联 RLC 电路中，则称为串联谐振。考虑以下串联 RLC 电路，它在相量域中表示。

这里，电阻器、电感器和电容器等无源元件串联连接。整个组合与输入正弦电压源串联。

在环路周围应用KVL。

$$V - V_R - V_L - V_C = 0$$

$$\Rightarrow V - IR - I(j X_L) - I(-j X_C) = 0$$

$$\Rightarrow V = IR + I(j X_L) + I(-j X_C)$$

$\Rightarrow V = I[R + j(X_L - X_C)]$公式 1

上述公式的形式为V = IZ。

因此，串联 RLC 电路的阻抗 Z将是

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

谐振时的参数和电气量

现在，让我们逐一推导串联 RLC 电路谐振时的参数和电气量值。

谐振频率

发生谐振的频率称为谐振频率 f_r。在串联 RLC 电路中，当阻抗 Z 的虚项为零时，即 $X_L - X_C$ 的值应等于零时，就会发生谐振。

$$\Rightarrow X_L = X_C$$

Substitute $X_L = 2 \pi f L$ and $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ in the above equation.

$$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$$

$$\Rightarrow f^2 = \frac{1}{(2 \pi)^2 L C}$$

$$\Rightarrow f = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

因此，串联 RLC 电路的谐振频率f_r为

$$f_r = \frac{1}{(2 \pi) \sqrt{LC}}$$

其中，L为电感器的电感，C为电容器的电容。

串联 RLC 电路的谐振频率f_r仅取决于电感L和电容C。但是，它与电阻R无关。

阻抗

我们得到串联 RLC 电路的阻抗 Z为

$$Z = R + j(X_L - X_C)$$

将 $X_L = X_C$ 代入上述公式中。

$$Z = R + j(X_C - X_C)$$

$$\Rightarrow Z = R + j(0)$$

$$\Rightarrow Z = R$$

在谐振时，串联 RLC 电路的阻抗Z等于电阻R的值，即 Z = R。

流过电路的电流

在公式 1 中代入 $X_L - X_C = 0$。

$$V = I[R + j(0)]$$

$$\Rightarrow V = IR$$

$$\Rightarrow I = \frac{V}{R}$$

因此，在谐振时流过串联 RLC 电路的电流为 $\mathbf{\mathit{I = \frac{V}{R}}}$。

在谐振时，串联 RLC 电路的阻抗达到最小值。因此，在谐振时，最大电流流过该电路。

电阻两端的电压

电阻两端的电压为

$$V_R = IR$$

将I的值代入上述公式。

$$V_R = \lgroup \frac{V}{R} group R$$

$$\Rightarrow V_R = V$$

因此，在谐振时，电阻两端的电压为V_R = V。

电感两端的电压

电感两端的电压为

$$V_L = I(jX_L)$$

将值代入上述公式上式中的I。

$$V_L = \lgroup \frac{V}{R} group (jX_L)$$

$$\Rightarrow V_L = j \lgroup \frac{X_L}{R} group V$$

$$\Rightarrow V_L = j QV$$

因此，谐振时电感器两端的电压为 $V_L = j QV$。

因此，谐振时电感器两端的电压幅度为

$$|V_L| = QV$$

其中 Q 是 品质因数，其值等于 $\frac{X_L}{R}$

电容器两端的电压

电容器两端的电压为

$$V_C = I(-j X_C)$$

将 I 的值代入上述公式中。

$$V_C = \lgroup \frac{V}{R} group (-j X_C)$$

$$\Rightarrow V_C = -j \lgroup \frac{X_C}{R} group V$$

$$\Rightarrow V_C = -jQV$$

因此，电容器两端的电压谐振时电容器的电压为 $\mathbf{\mathit{V_C = -jQV}}$。