控制系统 - 时间响应分析

我们可以在时域和频域中分析控制系统的响应。我们将在后面的章节中讨论控制系统的频率响应分析。现在让我们讨论控制系统的时间响应分析。

什么是时间响应？

如果控制系统的输出对于输入随时间变化，则称为控制系统的时间响应。时间响应由两部分组成。

• 瞬态响应
• 稳态响应

下图显示了控制系统在时域中的响应。

此处，图中标出了瞬态和稳态。与这些状态相对应的响应称为瞬态和稳态响应。

从数学上讲，我们可以将时间响应 c(t) 写为

$$c(t)=c_{tr}(t)+c_{ss}(t)$$

其中，

• c_tr(t) 是瞬态响应
• c_ss(t) 是稳态响应

瞬态响应

将输入应用于控制系统后，输出需要一定的时间才能达到稳态。因此，输出将处于瞬态，直到进入稳态。因此，控制系统在瞬态期间的响应称为瞬态响应。

对于较大的"t"值，瞬态响应将为零。理想情况下，"t"的这个值是无穷大，实际上，它是常数的五倍。

从数学上讲，我们可以将其写成

$$\lim_{t ightarrow \infty }c_{tr}(t)=0$$

稳态响应

对于较大的"t"值，即使瞬态响应为零值，时间响应中剩余的部分仍称为稳态响应。这意味着，即使在稳定状态下，瞬态响应也将为零。

示例

让我们找出控制系统时间响应的瞬态和稳态项 $c(t)=10+5e^{-t}$

这里，第二个项 $5e^{-t}$ 将为零，因为t表示无穷大。因此，这是瞬态项。即使t趋近于无穷大，第一项 10 仍然保持不变。因此，这是稳态项。

标准测试信号

标准测试信号包括脉冲、阶跃、斜坡和抛物线。这些信号用于了解控制系统使用输出的时间响应的性能。

单位脉冲信号

单位脉冲信号 δ(t) 定义为

$\delta (t)=0$ for $t eq 0$

and $\int_{0^-}^{0^+} \delta (t)dt=1$

下图显示单位脉冲信号。

因此，单位脉冲信号仅在't'等于零时存在。在't'附近一小段时间间隔内，该信号的面积等于零，为 1。对于't'的所有其他值，单位脉冲信号的值都为零。

单位阶跃信号

单位阶跃信号 u(t) 定义为

$$u(t)=1;t\geq 0$$

$=0; t<0$

下图显示单位阶跃信号。

因此，对于't'的所有正值（包括零），单位阶跃信号都存在。并且在此间隔内其值为 1。对于't'的所有负值，单位阶跃信号的值都为零。

单位斜坡信号

单位斜坡信号 r(t) 定义为

$$r(t)=t; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我们可以将单位斜坡信号 $r(t)$ 写成单位阶跃信号 $u(t)$，如下所示

$$r(t)=tu(t)$$

下图显示了单位斜坡信号。

因此，对于包括零在内的所有"t"正值，单位斜坡信号都存在。并且在此间隔内，其值相对于"t"线性增加。对于"t"的所有负值，单位斜坡信号的值都为零。

单位抛物线信号

单位抛物线信号 p(t) 定义为，

$$p(t)=\frac{t^2}{2}; t\geq 0$$

$=0; t<0$

我们可以将单位抛物线信号 $p(t)$ 写为单位阶跃信号 $u(t)$，

$$p(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$$

下图显示了单位抛物线信号。

因此，对于 't' 的所有正值（包括零），单位抛物线信号都存在。并且在此间隔内，其值相对于't'呈非线性增加。对于't'的所有负值，单位抛物线信号的值均为零。