梅森增益公式

现在我们来讨论一下梅森增益公式。假设信号流图中有'N'条前向路径。信号流图的输入和输出节点之间的增益就是系统的传递函数。可以使用梅森增益公式计算。

梅森增益公式为

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^N _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

其中，

• C(s) 为输出节点

• R(s) 为输入节点

• T 为 $R(s)$ 和 $C(s)$ 之间的传递函数或增益

• P_i 为第 i^个前向路径增益

$\Delta =1-(所有单个循环增益之和)$

$+(所有可能的两个不接触循环的增益乘积之和)$

$$-(所有可能三个不接触循环的增益乘积之和)+...$$

Δ_i 从 Δ 获得通过删除接触第 i 个前向路径的循环。

请考虑以下信号流图，以理解此处涉及的基本术语。

路径

它是沿着分支箭头方向从一个节点到任何其他节点的分支遍历。它不应该多次遍历任何节点。

示例 − $y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_4 ightarrow y_5$ 和 $y_5 ightarrow y_3 ightarrow y_2$

前向路径

从输入节点到输出节点的路径称为前向路径。

示例 − $y_1 ightarrow y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_4 ightarrow y_5 ightarrow y_6$ 和 $y_1 ightarrow y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_5 ightarrow y_6$。

前向路径增益

通过计算前向路径所有分支增益的乘积获得。

示例 − $abcde$ 是 $y_1 ightarrow y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_4 ightarrow y_5 ightarrow y_6$ 的前向路径增益，而 abge 是 $y_1 ightarrow y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_5 ightarrow y_6$ 的前向路径增益。

循环

从一个节点开始并在同一节点结束的路径称为 循环。因此，它是一条封闭的路径。

示例 − $y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_2$ 和 $y_3 ightarrow y_5 ightarrow y_3$。

环路增益

它是通过计算环路所有分支增益的乘积获得的。

示例 − $b_j$ 是 $y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_2$ 的环路增益，$g_h$ 是 $y_3 ightarrow y_5 ightarrow y_3$ 的环路增益。

非接触环路

这些是不应有任何公共节点的环路。

示例 −循环 $y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_2$ 和 $y_4 ightarrow y_5 ightarrow y_4$ 不接触。

使用 Mason 增益公式计算传递函数

让我们考虑相同的信号流图来查找传递函数。

• 前向路径数，N = 2。

• 第一条前向路径为 - $y_1 ightarrow y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_4 ightarrow y_5 ightarrow y_6$。

• 第一条前向路径增益，$p_1 = abcde$。

• 第二条前向路径为 - $y_1 ightarrow y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_5 ightarrow y_6$。

• 第二条前向路径增益，$p_2 = abge$。

• 单个循环数，L = 5。

• 循环为 - $y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_2$、$y_3 ightarrow y_5 ightarrow y_3$、$y_3 ightarrow y_4 ightarrow y_5 ightarrow y_3$、$y_4 ightarrow y_5 ightarrow y_4$ 和 $y_5 ightarrow y_5$。

• 循环增益为 - $l_1 = bj$、$l_2 = gh$、$l_3 = cdh$、$l_4 = di$ 和 $l_5 = f$。

• 两个非接触循环的数量 = 2。

• 第一个非接触循环对为 - $y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_2$、$y_4 ightarrow y_5 ightarrow y_4$。

• 第一个非接触循环对的增益乘积，$l_1l_4 = bjdi$

• Second non-touching loops pair is - $y_2 ightarrow y_3 ightarrow y_2$, $y_5 ightarrow y_5$.

• 第二对非接触环路的增益积为 - $l_1l_5 = bjf$

此信号流图中不存在更多（超过两个）非接触环路。

我们知道，

$\Delta =1-(所有单个环路增益之和)$

$+(所有可能的两个非接触环路增益乘积之和)$

$$-(所有可能三个非接触环路增益乘积之和)+...$$

代入上面的值方程，

$\Delta =1-(bj+gh+cdh+di+f)+(bjdi+bjf)-(0)$

$\Rightarrow \Delta=1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf$

没有不接触第一条前向路径的循环。

因此，$\Delta_1=1$。

类似地，$\Delta_2=1$。因为，没有不接触第二条前向路径的循环。

代入 Mason 增益公式中的 N = 2

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\Sigma ^2 _{i=1}P_i\Delta _i}{\Delta}$$

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{P_1\Delta_1+P_2\Delta_2}{\Delta}$$

代入上述公式中的所有必要值方程。

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)1+(abge)1}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

$$\Rightarrow T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$

因此，传递函数为 -

$$T=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{(abcde)+(abge)}{1-(bj+gh+cdh+di+f)+bjdi+bjf}$$