控制系统 - 框图代数
框图代数就是与框图基本元素相关的代数。该代数处理代数方程的图形表示。
块的基本连接
两个块之间有三种基本连接类型。
串联
串联也称为级联。在下图中，两个具有传递函数 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ 的块串联连接。
对于这种组合，我们将得到输出 $Y(s)$ 为
$$Y(s)=G_2(s)Z(s)$$
其中，$Z(s)=G_1(s)X(s)$
$$\Rightarrow Y(s)=G_2(s)[G_1(s)X(s)]=G_1(s)G_2(s)X(s)$$
$$\Rightarrow Y(s)=\lbrace G_1(s)G_2(s) brace X(s)$$
将此方程与输出方程的标准形式，$Y(s)=G(s)X(s)$。其中，$G(s) = G_1(s)G_2(s)$。
这意味着我们可以用一个块来表示两个块的串联。这个单个块的传递函数是这两个块的传递函数的乘积。等效框图如下所示。
同样，您可以用一个块来表示'n'个块的串联。这个单个块的传递函数是所有'n'个块的传递函数的乘积。
并联
并联连接的块将具有相同的输入。下图中，两个具有传递函数 $G_1(s)$ 和 $G_2(s)$ 的块并联连接。这两个块的输出连接到求和点。
对于这种组合，我们将得到输出 $Y(s)$ 为
$$Y(s)=Y_1(s)+Y_2(s)$$
其中，$Y_1(s)=G_1(s)X(s)$ 和 $Y_2(s)=G_2(s)X(s)$
$$\Rightarrow Y(s)=G_1(s)X(s)+G_2(s)X(s)=\lbrace G_1(s)+G_2(s) brace X(s)$$
将此方程与输出方程的标准形式进行比较， $Y(s)=G(s)X(s)$。
其中，$G(s)=G_1(s)+G_2(s)$。
这意味着我们可以用一个块来表示两个块的并联。这个单个块的传递函数是这两个块的传递函数之和。等效框图如下所示。
同样，您可以用一个块来表示'n'个块的并联。这个单个块的传递函数是所有'n'个块的传递函数的代数和。
反馈连接
正如我们在前面章节中讨论的那样，有两种类型的反馈——正反馈和负反馈。下图显示了负反馈控制系统。这里，两个具有传递函数 $G(s)$ 和 $H(s)$ 的块形成一个闭环。
求和点的输出为 -
$$E(s)=X(s)-H(s)Y(s)$$
输出 $Y(s)$ 为 -
$$Y(s)=E(s)G(s)$$
将 $E(s)$ 值代入上述等式中。
$$Y(s)=\left \{ X(s)-H(s)Y(s) brace G(s) ight\}$$
$$Y(s)\left \{ 1+G(s)H(s) brace = X(s)G(s) ight\}$$
$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$
因此，负反馈闭环传递函数为 $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$
这意味着我们可以用一个块来表示两个块的负反馈连接。这个单个块的传递函数是负反馈的闭环传递函数。等效框图如下所示。
同样，你可以用一个块来表示两个块的正反馈连接。该单个块的传递函数是正反馈的闭环传递函数，即$\frac{G(s)}{1-G(s)H(s)}$
求和点的框图代数
对于块，有两种移位求和点的可能性 −
- 将求和点移到块后
- 将求和点移到块前
现在让我们逐一看看上述两种情况下需要做什么样的安排。
将求和点移到块后
考虑下图所示的框图。此处，求和点位于块之前。
求和点有两个输入 $R(s)$ 和 $X(s)$。它的输出是 $\left \{R(s)+X(s) ight\}$。
因此，块 $G(s)$ 的输入是 $\left \{R(s)+X(s) ight \}$，它的输出是 –
$$Y(s)=G(s)\left \{R(s)+X(s) ight \}$$
$\Rightarrow Y(s)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (公式 1)
现在，将求和点移到块后面。该框图如下图所示。
块 $G(s)$ 的输出为 $G(s)R(s)$。
求和点的输出为
$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (等式 2)
比较等式 1 和等式 2。
两个等式中的第一个项 $'G(s) R(s)'$ 相同。但是，第二个项有所不同。为了让第二个项也相同，我们需要一个块 $G(s)$。它具有输入 $X(s)$，并且该块的输出作为求和点的输入而不是 $X(s)$。下图显示了该框图。
将求和点移到块之前
考虑下图所示的框图。此处，求和点位于块之后。
此框图的输出为 -
$Y(s)=G(s)R(s)+X(s)$ (公式 3)
现在，将求和点移至块之前。该框图如下图所示。
该框图的输出为 -
$Y(S)=G(s)R(s)+G(s)X(s)$ (等式 4)
比较等式 3 和等式 4，
两个等式中的第一个项 $'G(s) R(s)'$ 相同。但是，第二个项有所不同。为了让第二个项也相同，我们需要一个块 $\frac{1}{G(s)}$。它具有输入 $X(s)$，并且该块的输出作为求和点的输入而不是 $X(s)$。下图显示了该框图。
起飞点的框图代数
有两种可能性可以相对于块移动起飞点 −
- 在块后移动起飞点
- 在块前移动起飞点
现在让我们逐一看看上述两种情况下应做哪些安排。
在区块后移动起飞点
考虑下图所示的框图。在这种情况下，起飞点位于区块之前。
这里，$X(s)=R(s)$ 和 $Y(s)=G(s)R(s)$
在区块后移动起飞点时，输出 $Y(s)$ 将相同。但是，$X(s)$ 值存在差异。因此，为了获得相同的 $X(s)$ 值，我们需要一个区块 $\frac{1}{G(s)}$。它具有输入 $Y(s)$，输出为 $X(s)$。下图显示了此框图。
将起飞点移至区块之前
考虑下图所示的框图。此处，起飞点位于区块之后。
此处，$X(s)=Y(s)=G(s)R(s)$
当您将起飞点移至区块之前时，输出 $Y(s)$ 将相同。但是，$X(s)$ 值存在差异。因此，为了获得相同的 $X(s)$ 值，我们需要一个块 $G(s)$。它具有输入 $R(s)$ 和输出 $X(s)$。该框图如下图所示。
