一阶系统的响应
在本章中，我们来讨论一阶系统的时间响应。考虑以下闭环控制系统的框图。这里，开环传递函数 $\frac{1}{sT}$ 与一个单位负反馈相连。
我们知道，闭环控制系统的传递函数具有单位负反馈，因为，
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$
代入上式中的 $G(s)=\frac{1}{sT}$。
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{sT}}{1+\frac{1}{sT}}=\frac{1}{sT+1}$$
s 的幂是分母中的 1 学期。 因此，上述传递函数是一阶的，系统被称为一阶系统。
我们可以将上述方程重写为
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )R(s)$$
其中，
C(s)是输出信号 c(t) 的拉普拉斯变换，
R(s)是输入信号 r(t) 的拉普拉斯变换，
T是时间常数。
按照以下步骤获取时间域中一阶系统的响应（输出）。
对输入进行拉普拉斯变换信号 $r(t)$。
考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )R(s)$
将 $R(s)$ 值代入上述方程中。
如有必要，对 $C(s)$ 进行部分分式运算。
对 $C(s)$ 进行逆拉普拉斯变换。
在上一章中，我们已经看到了标准测试信号，如脉冲、阶跃、斜坡和抛物线。现在让我们逐一找出一阶系统对每个输入的响应。响应的名称根据输入信号的名称给出。例如，系统对脉冲输入的响应称为脉冲响应。
一阶系统的脉冲响应
将单位脉冲信号视为一阶系统的输入。
因此，$r(t)=\delta (t)$
对两边应用拉普拉斯变换。
$R(s)=1$
考虑方程，$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )R(s)$
在上述方程中代入 $R(s) = 1$。
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )(1)=\frac{1}{sT+1}$$
将上述方程重新排列为拉普拉斯变换的标准形式之一。
$$C(s)=\frac{1}{T\left (\ s+\frac{1}{T} ight )} \Rightarrow C(s)=\frac{1}{T}\left ( \frac{1}{s+\frac{1}{T}} ight )$$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$c(t)=\frac{1}{T}e^\left ( {-\frac{t}{T}} ight )u(t)$$
单位脉冲响应如下图所示。
单位脉冲响应，c(t) 是"t"为正值的指数衰减信号，而"t"为负值的则为零。
一阶系统的阶跃响应
将单位阶跃信号视为一阶系统的输入。
So, $r(t)=u(t)$
对两边应用拉普拉斯变换。
$$R(s)=\frac{1}{s}$$
考虑方程 $C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )R(s)$
将 $R(s)=\frac{1}{s}$ 代入上述方程中。
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )\left ( \frac{1}{s} ight )=\frac{1}{s\left ( sT+1 ight )}$$
对 C(s) 进行部分分式。
$$C(s)=\frac{1}{s\left ( sT+1 ight )}=\frac{A}{s}+\frac{B}{sT+1}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{s\left ( sT+1 ight )}=\frac{A\left ( sT+1 ight )+Bs}{s\left ( sT+1 ight )}$$
两边的分母项相同。因此，它们会相互抵消。因此，使分子项相等。
$$1=A\left ( sT+1 ight )+Bs$$
通过使两边的常数项相等，您将得到 A = 1。
代入 A = 1 并让两边的 s 项的系数相等。
$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$
代入 $C(s)$ 的部分分式展开式中的 A = 1 和 B = −T。
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T\left ( s+\frac{1}{T} ight )}$$
$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}$$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$c(t)=\left ( 1-e^{-\left ( \frac{t}{T} ight )} ight )u(t)$$
单位阶跃响应，c(t) 具有瞬态和稳态项。
单位阶跃响应中的瞬态项为 -
$$c_{tr}(t)=-e^{-\left ( \frac{t}{T} ight )}u(t)$$
单位阶跃响应中的稳态项为 -
$$c_{ss}(t)=u(t)$$
下图显示了单位阶跃响应。
单位阶跃响应 c(t) 的值在 t = 0 时为零，并且对于所有 t 负值也是如此。它从零值逐渐增加，最终在稳定状态下达到 1。因此，稳态值取决于输入的大小。
一阶系统的斜坡响应
将单位斜坡信号视为一阶系统的输入。
$因此，r(t)=tu(t)$
对两边应用拉普拉斯变换。
$$R(s)=\frac{1}{s^2}$$
考虑方程，$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )R(s)$
在上述方程中代入 $R(s)=\frac{1}{s^2}$。
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )\left ( \frac{1}{s^2} ight )=\frac{1}{s^2(sT+1)}$$
对 $C(s)$ 进行部分分式计算。
$$C(s)=\frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A}{s^2}+\frac{B}{s}+\frac{C}{sT+1}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{s^2(sT+1)}=\frac{A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2}{s^2(sT+1)}$$
两边的分母项相同。因此，它们会相互抵消。因此，使分子项相等。
$$1=A(sT+1)+Bs(sT+1)+Cs^2$$
通过使两边的常数项相等，您将得到 A = 1。
代入 A = 1 并让两边的 s 项的系数相等。
$$0=T+B \Rightarrow B=-T$$
类似地，代入 B = −T 并让两边的 $s^2$ 项的系数相等。您将得到 $C=T^2$。
在 $C(s)$ 的部分分式展开式中代入 A = 1、B = −T 和 $C = T^2$。
$$C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{sT+1}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T^2}{T\left ( s+\frac{1}{T} ight )}$$
$$\Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+\frac{1}{T}}$$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$c(t)=\left ( t-T+Te^{-\left ( \frac{t}{T} ight )} ight )u(t)$$
单位斜坡响应，c(t) 具有瞬态和稳态项。
单位斜坡响应中的瞬态项为 -
$$c_{tr}(t)=Te^{-\left ( \frac{t}{T} ight )}u(t)$$
单位斜坡响应中的稳态项为 -
$$c_{ss}(t)=(t-T)u(t)$$
下图显示了单位斜坡响应。
单位斜坡响应，c(t) 对于 t 的所有正值都遵循单位斜坡输入信号。但是，与输入信号存在 T 个单位的偏差。
一阶系统的抛物线响应
将单位抛物线信号视为一阶系统的输入。
因此，$r(t)=\frac{t^2}{2}u(t)$
对两边应用拉普拉斯变换。
$$R(s)=\frac{1}{s^3}$$
考虑方程，$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )R(s)$
将 $R(s)=\frac{1}{s^3}$ 代入上述方程。
$$C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} ight )\left( \frac{1}{s^3} ight )=\frac{1}{s^3(sT+1)}$$
对$C(s)$进行部分分式化简。
$$C(s)=\frac{1}{s^3(sT+1)}=\frac{A}{s^3}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s}+\frac{D}{sT+1}$$
化简后，A、B、C、D的值分别为1、$-T、\: T^2\:、\: −T^3$。将这些值代入上述 C(s) 的部分分式展开式中。
$C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^3}{sT+1} \: \Rightarrow C(s)=\frac{1}{s^3}-\frac{T}{s^2}+\frac{T^2}{s}-\frac{T^2}{s+\frac{1}{T}}$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$c(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} ight )} ight )u(t)$$
单位抛物线响应，c(t) 既有瞬态项也有稳态项。
单位抛物线响应中的瞬态项是
$$C_{tr}(t)=-T^2e^{-\left ( \frac{t}{T} ight )}u(t)$$
单位抛物线响应中的稳态项是
$$C_{ss}(t)=\left ( \frac{t^2}{2} -Tt+T^2 ight )u(t)$$
从这些响应中，我们可以得出结论，一阶控制系统在斜坡和抛物线输入下不稳定，因为这些响应即使在无限长的时间内也会不断增加。一阶控制系统在脉冲和阶跃输入下是稳定的，因为这些响应具有有界输出。但是，脉冲响应没有稳态项。因此，阶跃信号在时间域中被广泛用于根据其响应来分析控制系统。
