控制系统 - 状态空间模型
线性时不变 (LTI) 系统的 状态空间模型 可以表示为，
$$\dot{X}=AX+BU$$
$$Y=CX+DU$$
第一个和第二个方程分别称为状态方程和输出方程。
其中，
X 和 $\dot{X}$ 分别是状态向量和差分状态向量。
U 和 Y 分别是输入向量和输出向量。
A 是系统矩阵。
B 和 C 是输入和输出矩阵。
D 是前馈矩阵。
状态空间模型的基本概念
本章涉及以下基本术语。
状态
它是一组变量，它总结了系统的历史，以便预测未来的值（输出）。
状态变量
所需的状态变量的数量等于系统中存在的存储元素的数量。
示例 − 流过电感器的电流，电容器两端的电压
状态向量
它是一个向量，其中包含状态变量作为元素。
在前面的章节中，我们讨论了控制系统的两种数学模型。它们是微分方程模型和传递函数模型。状态空间模型可以从这两个数学模型中的任何一个获得。现在让我们逐一讨论这两种方法。
微分方程的状态空间模型
考虑以下一系列 RLC 电路。它有一个输入电压 $v_i(t)$，流过电路的电流为 $i(t)$。
该电路中有两个存储元件（电感器和电容器）。因此，状态变量的数量等于二，这些状态变量是流过电感的电流 $i(t)$ 和电容器两端的电压 $v_c(t)$。
从电路来看，输出电压 $v_0(t)$ 等于电容器两端的电压 $v_c(t)$。
$$v_0(t)=v_c(t)$$
在环路周围应用 KVL。
$$v_i(t)=Ri(t)+L\frac{ ext{d}i(t)}{ ext{d}t}+v_c(t)$$
$$\Rightarrow \frac{ ext{d}i(t)}{ ext{d}t}=-\frac{Ri(t)}{L}-\frac{v_c(t)}{L}+\frac{v_i(t)}{L}$$
电容器两端的电压为 -
$$v_c(t)=\frac{1}{C} \int i(t) dt$$
对上述方程进行时间微分。
$$\frac{ ext{d}v_c(t)}{ ext{d}t}=\frac{i(t)}{C}$$
状态向量，$X=\begin{bmatrix}i(t) \v_c(t) \end{bmatrix}$
差分状态向量，$\dot{X}=\begin{bmatrix}\frac{ ext{d}i(t)}{ ext{d}t} \\frac{ ext{d}v_c(t)}{ ext{d}t} \end{bmatrix}$
我们可以将微分方程和输出方程整理成状态空间模型的标准形式，
$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\frac{ ext{d}i(t)}{ ext{d}t} \\frac{ ext{d}v_c(t)}{ ext{d}t} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i(t) \v_c(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\frac{1}{L} \0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_i(t) \end{bmatrix}$$
$$Y=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i(t) \v_c(t) \end{bmatrix}$$
其中，
$$A=\begin{bmatrix}-\frac{R}{L} & -\frac{1}{L} \\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}, \: B=\begin{bmatrix}\frac{1}{L} \0 \end{bmatrix}, \: C=\begin{bmatrix}0 & 1 \end{bmatrix} \: 和 \: D=\begin{bmatrix}0 \end{bmatrix}$$
传递函数的状态空间模型
根据分子中存在的项的类型考虑两种类型的传递函数。
- 传递函数在分子中具有常数项。
- 传递函数在分子中具有多项式函数's'。
分子中具有常数项的传递函数
考虑系统的以下传递函数
$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1s+a_0}$$
将上述方程重新排列为
$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)Y(s)=b_0 U(s)$$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$\frac{ ext{d}^ny(t)}{ ext{d}t^n}+a_{n-1}\frac{ ext{d}^{n-1}y(t)}{ ext{d}t^{n-1}}+...+a_1\frac{ ext{d}y(t)}{ ext{d}t}+a_0y(t)=b_0 u(t)$$
设
$$y(t)=x_1$$
$$\frac{ ext{d}y(t)}{ ext{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$
$$\frac{ ext{d}^2y(t)}{ ext{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$
$$.$$
$$.$$
$$\frac{ ext{d}^{n-1}y(t)}{ ext{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$
$$\frac{ ext{d}^ny(t)}{ ext{d}t^n}=\dot{x}_n$$
且 $u(t)=u$
则，
$$\dot{x}_n+a_{n-1}x_n+...+a_1x_2+a_0x_1=b_0 u$$
从上述方程，我们可以写出以下状态方程。
$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+b_0 u$$
输出方程为-
$$y(t)=y=x_1$$
状态空间模型为 -
$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\dot{x}_2 \\vdots \\dot{x}_{n-1} \\dot{x}_n \end{bmatrix}$
$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \x_2 \\vdots \x_{n-1} \x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \0 \\vdots \0 \b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$
$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \x_2 \\vdots \x_{n-1} \x_n \end{bmatrix}$$
这里，$D=\left [ 0 ight ].$
示例
找到具有传递函数的系统的状态空间模型。
$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^2+s+1}$$
将上述方程重新排列为，
$$(s^2+s+1)Y(s)=U(s)$$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$\frac{ ext{d}^2y(t)}{ ext{d}t^2}+\frac{ ext{d}y(t)}{ ext{d}t}+y(t)=u(t)$$
让
$$y(t)=x_1$$
$$\frac{ ext{d}y(t)}{ ext{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$
且$u(t)=u$
则状态方程为
$$\dot{x}_2=-x_1-x_2+u$$
输出方程为
$$y(t)=y=x_1$$
状态空间模型为
$$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\dot{x}_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1 \-1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \x_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \1 \end{bmatrix}\left [u ight ]$$
$$Y=\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \x_2 \end{bmatrix}$$
分子中具有"s"多项式函数的传递函数
考虑系统的以下传递函数
$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$
$$\Rightarrow \frac{Y(s)}{U(s)}=\left( \frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0} ight )(b_n s^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)$$
上述方程式为两个级联块的传递函数乘积的形式。
$$\frac{Y(s)}{U(s)}=\left(\frac{V(s)}{U(s)} ight ) \left(\frac{Y(s)}{V(s)} ight )$$
这里，
$$\frac{V(s)}{U(s)}=\frac{1}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_1 s+a_0}$$
将上述方程重新排列为
$$(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_0)V(s)=U(s)$$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$\frac{ ext{d}^nv(t)}{ ext{d}t^n}+a_{n-1}\frac{ ext{d}^{n-1}v(t)}{ ext{d}t^{n-1}}+...+a_1 \frac{ ext{d}v(t)}{ ext{d}t}+a_0v(t)=u(t)$$
设
$$v(t)=x_1$$
$$\frac{ ext{d}v((t)}{ ext{d}t}=x_2=\dot{x}_1$$
$$\frac{ ext{d}^2v(t)}{ ext{d}t^2}=x_3=\dot{x}_2$$
$$.$$
$$.$$
$$.$$
$$\frac{ ext{d}^{n-1}v(t)}{ ext{d}t^{n-1}}=x_n=\dot{x}_{n-1}$$
$$\frac{ ext{d}^nv(t)}{ ext{d}t^n}=\dot{x}_n$$
且 $u(t)=u$
然后，状态方程是
$$\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u$$
考虑，
$$\frac{Y(s)}{V(s)}=b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0$$
将上述方程重新排列为
$$Y(s)=(b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+...+b_1s+b_0)V(s)$$
对两边应用逆拉普拉斯变换。
$$y(t)=b_n\frac{ ext{d}^nv(t)}{ ext{d}t^n}+b_{n-1}\frac{ ext{d}^{n-1}v(t)}{ ext{d}t^{n-1}}+...+b_1\frac{ ext{d}v(t)}{ ext{d}t}+b_0v(t)$$
代入上述方程中的状态变量和$y(t)=y$，将得到输出方程为，
$$y=b_n\dot{x}_n+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$
代入上述方程中的$\dot{x}_n$值方程。
$$y=b_n(-a_0x_1-a_1x_2-...-a_{n-1}x_n+u)+b_{n-1}x_n+...+b_1x_2+b_0x_1$$
$$y=(b_0-b_na_0)x_1+(b_1-b_na_1)x_2+...+(b_{n-1}-b_na_{n-1})x_n+b_n u$$
状态空间模型为
$\dot{X}=\begin{bmatrix}\dot{x}_1 \\dot{x}_2 \\vdots \\dot{x}_{n-1} \\dot{x}_n \end{bmatrix}$
$$=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \dotso & 0 & 0 \0 & 0 & 1 & \dotso & 0 & 0 \\vdots & \vdots & \vdots & \dotso & \vdots & \vdots \ 0 & 0 & 0 & \dotso & 0 & 1 \-a_0 & -a_1 & -a_2 & \dotso & -a_{n-2} & -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \x_2 \\vdots \x_{n-1} \x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0 \0 \\vdots \0 \b_0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u \end{bmatrix}$$
$$Y=[b_0-b_na_0 \quad b_1-b_na_1 \quad ... \quad b_{n-2}-b_na_{n-2} \quad b_{n-1}-b_na_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \x_2 \\vdots \x_{n-1} \x_n \end{bmatrix}$$
如果 $b_n = 0$，则，
$$Y=[b_0 \quad b_1 \quad ...\quad b_{n-2} \quad b_{n-1}]\begin{bmatrix}x_1 \x_2 \\vdots \x_{n-1} \x_n \end{bmatrix}$$
