控制系统 - 根轨迹
在根轨迹图中，我们可以观察到闭环极点的路径。因此，我们可以识别控制系统的性质。在这种技术中，我们将使用开环传递函数来了解闭环控制系统的稳定性。
根轨迹的基础知识
根轨迹是通过将系统增益 K 从零变为无穷大而得到的特征方程根的轨迹。
我们知道，闭环控制系统的特征方程是
$$1+G(s)H(s)=0$$
我们可以将 $G(s)H(s)$ 表示为
$$G(s)H(s)=K\frac{N(s)}{D(s)}$$
其中，
K 表示乘数
N(s) 表示具有（因式分解）n阶 多项式的分子项's' 的。
D(s) 表示具有（分解的）m阶 's' 多项式的分母项。
代入特征方程中的 $G(s)H(s)$ 值。
$$1+k\frac{N(s)}{D(s)}=0$$
$$\Rightarrow D(s)+KN(s)=0$$
情况 1 − K = 0
如果 $K=0$，则 $D(s)=0$。
这意味着，当 K 为零时，闭环极点等于开环极点。
情况 2 − K = ∞
将上述特征方程重写为
$$K\left(\frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)} ight )=0 \Rightarrow \frac{1}{K}+\frac{N(s)}{D(s)}=0$$
代入上述方程中的 $K = \infty$。
$$\frac{1}{\infty}+\frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow \frac{N(s)}{D(s)}=0 \Rightarrow N(s)=0$$
如果 $K=\infty$，则 $N(s)=0$。这意味着当 K 为无穷大时，闭环极点等于开环零点。
从以上两种情况可以得出，根轨迹分支始于开环极点，终止于开环零点。
角度条件和幅值条件
根轨迹分支上的点满足角度条件。因此，角度条件用于判断该点是否存在于根轨迹分支上。我们可以通过幅值条件找到根轨迹分支上点的 K 值。因此，我们可以对这些点使用幅度条件，这满足角度条件。
闭环控制系统的特征方程为
$$1+G(s)H(s)=0$$
$$\Rightarrow G(s)H(s)=-1+j0$$
$G(s)H(s)$的相位角为
$$\angle G(s)H(s)= an^{-1}\left ( \frac{0}{-1} ight )=(2n+1)\pi$$
角度条件是开环传递函数的角度为1800的奇数倍的点。
$G(s)H(s)$的幅度为-
$$|G(s)H(s)|=\sqrt {(-1)^2+0^2}=1$$
幅度条件是开环传递函数的幅度为 1 的点（满足角度条件）。
