频率响应分析
我们已经讨论了控制系统的时间响应分析和二阶控制系统的时域规范。在本章中，我们将讨论控制系统的频率响应分析和二阶控制系统的频域规范。
什么是频率响应？
系统的响应可以分为瞬态响应和稳态响应。我们可以通过使用傅里叶积分来找到瞬态响应。系统对于输入正弦信号的稳态响应称为频率响应。在本章中，我们将仅关注稳态响应。
如果将正弦信号作为线性时不变 (LTI) 系统的输入，则它会产生稳态输出，这也是正弦信号。输入和输出正弦信号具有相同的频率，但幅度和相位角不同。
让输入信号为 −
$$r(t)=A\sin(\omega_0t)$$
开环传递函数将为 −
$$G(s)=G(j\omega)$$
我们可以用幅度和相位表示 $G(j\omega)$，如下所示。
$$G(j\omega)=|G(j\omega)| \angle G(j\omega)$$
代入上式中的 $\omega = \omega_0$。
$$G(j\omega_0)=|G(j\omega_0)| \angle G(j\omega_0)$$
输出信号为
$$c(t)=A|G(j\omega_0)|\sin(\omega_0t + \angle G(j\omega_0))$$
输出正弦信号的幅度是通过将输入正弦信号的幅度与 $\omega = \omega_0$ 时 $G(j\omega)$ 的幅度相乘而得到的。
输出正弦信号的相位是通过将输入正弦信号的相位与 $\omega = \omega_0$ 时 $G(j\omega)$ 的相位相加而得到的。
其中，
A 是输入正弦信号的幅度。
ω0 是输入正弦信号的角频率。
我们可以将角频率 $\omega_0$ 写成如下所示。
$$\omega_0=2\pi f_0$$
这里，$f_0$ 是输入正弦信号的频率。类似地，您可以对闭环控制系统执行相同的程序。
频域规范
频域规范包括谐振峰值、谐振频率和带宽。
考虑二阶闭环控制系统的传递函数，
$$T(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\delta\omega_ns+\omega_n^2}$$
代入上述公式中的 $s = j\omega$。
$$T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{(j\omega)^2+2\delta\omega_n(j\omega)+\omega_n^2}$$
$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+2j\delta\omega\omega_n+\omega_n^2}=\frac{\omega_n^2}{\omega_n^2\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2}+\frac{2j\delta\omega}{\omega_n} ight )}$$
$$\Rightarrow T(j\omega)=\frac{1}{\left ( 1-\frac{\omega^2}{\omega_n^2} ight )+j\left ( \frac{2\delta\omega}{\omega_n} ight )}$$
设 $\frac{\omega}{\omega_n}=u$ 将此值代入上述等式。
$$T(j\omega)=\frac{1}{(1-u^2)+j(2\delta u)}$$
$T(j\omega)$的幅度为 -
$$M=|T(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt {(1-u^2)^2+(2\delta u)^2}}$$
$T(j\omega)$的相位为 -
$$\angle T(j\omega)=-tan^{-1}\left( \frac{2\delta u}{1-u^2} ight )$$
谐振频率
频率响应的幅度首次出现峰值的频率。用$\omega_r$表示。在 $\omega = \omega_r$ 处，$T(j\omega)$ 的量级的一阶导数为零。
对 $M$ 求 $u$ 的导数。
$$\frac{ ext{d}M}{ ext{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 ight ]^{\frac{-3}{2}} \left [2(1-u^2)(-2u)+2(2\delta u)(2\delta) ight ]$$
$$\Rightarrow \frac{ ext{d}M}{ ext{d}u}=-\frac{1}{2}\left [ (1-u^2)^2+(2\delta u)^2 ight ]^{\frac{-3}{2}} \left [4u(u^2-1 +2\delta^2) ight ]$$
代入上式，$u=u_r$ 和 $\frac{ ext{d}M}{ ext{d}u}==0$。
$$0=-\frac{1}{2}\left [ (1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2 ight ]^{-\frac{3}{2}}\left [ 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2) ight ]$$
$$\Rightarrow 4u_r(u_r^2-1 +2\delta^2)=0$$
$$\Rightarrow u_r^2-1+2\delta^2=0$$
$$\Rightarrow u_r^2=1-2\delta^2$$
$$\Rightarrow u_r=\sqrt{1-2\delta^2}$$
代入，上式中的 $u_r=\frac{\omega_r}{\omega_n}$。
$$\frac{\omega_r}{\omega_n}=\sqrt{1-2\delta^2}$$
$$\Rightarrow \omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\delta^2}$$
共振峰
它是 $T(j\omega)$ 幅度的峰值（最大值）。它用 $M_r$ 表示。
当 $u = u_r$ 时，$T(j\omega)$ 的幅度为 -
$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(1-u_r^2)^2+(2\delta u_r)^2}}$$
代入上式中的 $u_r = \sqrt{1 − 2\delta^2}$ 和 $1 − u_r^2 = 2\delta^2$。
$$M_r=\frac{1}{\sqrt{(2\delta^2)^2+(2\delta \sqrt{1-2\delta^2})^2}}$$
$$\Rightarrow M_r=\frac{1}{2\delta \sqrt {1-\delta^2}}$$
频率响应中的谐振峰对应于阻尼比 $\delta$ 的某些值时时域瞬态响应中的峰值过冲。因此，谐振峰值和峰值过冲是相互关联的。
带宽
它是频率范围，在此范围内，$T(j\omega)$ 的幅度从其零频率值下降到 70.7%。
在 $\omega = 0$ 时，$u$ 的值将为零。
代入，M 中的 $u = 0$。
$$M=\frac{1}{\sqrt {(1-0^2)^2+(2\delta(0))^2}}=1$$
因此，$T(j\omega)$ 的幅度在 $\omega = 0$ 时为 1。
在 3-dB 频率下，$T(j\omega)$ 的幅度将是 $\omega 处 $T(j\omega)$ 幅度的 70.7% = 0$。
即，在 $\omega = \omega_B 时，M = 0.707(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$$\Rightarrow M=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-u_b^2)^2+(2\delta u_b)^2}}$$
$$\Rightarrow 2=(1-u_b^2)^2+(2\delta)^2 u_b^2$$
设，$u_b^2=x$
$$\Rightarrow 2=(1-x)^2+(2\delta)^2 x$$
$$\Rightarrow x^2+(4\delta^2-2)x-1=0$$
$$\Rightarrow x=\frac{-(4\delta^2 -2)\pm \sqrt{(4\delta^2-2)^2+4}}{2}$$
仅考虑 x 的正值。
$$x=1-2\delta^2+\sqrt {(2\delta^2-1)^2+1}$$
$$\Rightarrow x=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$
代入， $x=u_b^2=\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}$
$$\frac{\omega_b^2}{\omega_n^2}=1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}$$
$$\Rightarrow \omega_b=\omega_n \sqrt {1-2\delta^2+\sqrt {(2-4\delta^2+4\delta^4)}}$$
频率响应中的带宽$\omega_b$与时域瞬态响应中的上升时间$t_r$成反比。
