控制系统 - 稳态误差

稳态期间控制系统输出与期望响应之间的偏差称为稳态误差。它表示为 $e_{ss}$。我们可以使用最终值定理找到稳态误差，如下所示。

$$e_{ss}=\lim_{t o \infty}e(t)=\lim_{s o 0}sE(s)$$

其中，

E(s) 是误差信号 $e(t)$ 的拉普拉斯变换

让我们逐一讨论如何找到单位反馈和非单位反馈控制系统的稳态误差。

单位反馈系统的稳态误差

考虑以下具有单位负反馈的闭环控制系统的框图。

其中，

• R(s) 是参考输入信号 $r(t)$ 的拉普拉斯变换
• C(s) 是输出信号 $c(t)$ 的拉普拉斯变换

我们知道单位负反馈闭环控制系统的传递函数为

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow C(s)=\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

求和点的输出为 -

$$E(s)=R(s)-C(s)$$

将上面的 $C(s)$ 值代入方程。

$$E(s)=R(s)-\frac{R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)+R(s)G(s)-R(s)G(s)}{1+G(s)}$$

$$\Rightarrow E(s)=\frac{R(s)}{1+G(s)}$$

将 $E(s)$ 值代入稳态误差公式中

$$e_{ss}=\lim_{s o 0} \frac{sR(s)}{1+G(s)}$$

下表显示了标准输入信号（如单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线信号。

其中，$K_p$、$K_v$、$K_a$分别为位置误差常数、速度误差常数、加速度误差常数。

注意 −如果上述任何输入信号的幅度不是 1，则将相应的稳态误差乘以该幅度。

注意 − 我们无法定义单位脉冲信号的稳态误差，因为它仅存在于原点。因此，我们无法将脉冲响应与单位脉冲输入进行比较，因为 t 表示无穷大。

示例

让我们找出输入信号 $r(t)=\left( 5+2t+\frac{t^2}{2} ight )u(t)$ 的稳态误差，其中 1 为单位负反馈控制系统，其中 $G(s)=\frac{5(s+4)}{s^2(s+1)(s+20)}$

给定的输入信号是阶跃、斜坡和抛物线三个信号的组合。下表显示了这三个信号的误差常数和稳态误差值。

我们将得到整体稳态误差，通过将上述三个稳态误差相加误差。

$$e_{ss}=e_{ss1}+e_{ss2}+e_{ss3}$$

$$\Rightarrow e_{ss}=0+0+1=1$$

因此，我们得到此示例中的稳态误差 $e_{ss}$ 为 1。

非单位反馈系统的稳态误差

考虑以下具有非单位负反馈的闭环控制系统框图。

我们只能找到单位反馈系统的稳态误差。因此，我们必须将非单位反馈系统转换为单位反馈系统。为此，在上面的框图中包含一个单位正反馈路径和一个单位负反馈路径。新的框图如下所示。

通过保持单位负反馈原样来简化上面的框图。以下是简化的框图。

此框图类似于单位负反馈闭环控制系统的框图。在这里，单个块具有传递函数 $\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)-G(s)}$，而不是 $G(s)$。现在，您可以使用为单位负反馈系统给出的稳态误差公式来计算稳态误差。

注意 − 对于不稳定的闭环系统，找到稳态误差是没有意义的。因此，我们只需计算闭环稳定系统的稳态误差。这意味着我们需要在找到稳态误差之前检查控制系统是否稳定。在下一章中，我们将讨论与概念相关的稳定性。