控制系统 - 数学模型

控制系统可以用一组称为数学模型的数学方程来表示。这些模型对于控制系统的分析和设计很有用。控制系统的分析意味着在我们知道输入和数学模型的情况下找到输出。控制系统的设计意味着在我们知道输入和输出的情况下找到数学模型。

以下数学模型最常用。

• 微分方程模型
• 传递函数模型
• 状态空间模型

让我们在本章中讨论前两个模型。

微分方程模型

微分方程模型是控制系统的时间域数学模型。按照以下步骤建立微分方程模型。

• 将基本定律应用于给定的控制系统。

• 通过消除中间变量，得到输入和输出的微分方程。

示例

考虑下图所示的电气系统。该电路由电阻器、电感器和电容器组成。所有这些电气元件都以串联的方式连接。施加到该电路的输入电压为 $v_i$，电容器两端的电压为输出电压 $v_o$。

该电路的网格方程为

$$v_i=Ri+L\frac{ ext{d}i}{ ext{d}t}+v_o$$

代入上式中流过电容器 $i=c\frac{ ext{d}v_o}{ ext{d}t}$ 的电流。

$$\Rightarrow\:v_i=RC\frac{ ext{d}v_o}{ ext{d}t}+LC\frac{ ext{d}^2v_o}{ ext{d}t^2}+v_o$$

$$\Rightarrow\frac{ ext{d}^2v_o}{ ext{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} ight )\frac{ ext{d}v_o}{ ext{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} ight )v_o=\left ( \frac{1}{LC} ight )v_i$$

上述方程为二阶微分方程。

传递函数模型

传递函数模型是控制系统的 S 域数学模型。线性时不变 (LTI) 系统的传递函数定义为在假设所有初始条件为零的情况下输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。

如果 $x(t)$ 和 $y(t)$ 是 LTI 系统的输入和输出，则相应的拉普拉斯变换为 $X(s)$ 和 $Y(s)$。

因此，LTI 系统的传递函数等于 $Y(s)$ 和 $X(s)$ 之比。

$$即，\: 传递函数 =\frac{Y(s)}{X(s)}$$

LTI 系统的传递函数模型如下图所示。

这里，我们用一个块内部有传递函数。并且该块有一个输入 $X(s)$ &输出$Y(s)$。

示例

之前，我们得到了一个电气系统的微分方程为

$$\frac{ ext{d}^2v_o}{ ext{d}t^2}+\left ( \frac{R}{L} ight )\frac{ ext{d}v_o}{ ext{d}t}+\left ( \frac{1}{LC} ight )v_o=\left ( \frac{1}{LC} ight )v_i$$

对两边应用拉普拉斯变换。

$$s^2V_o(s)+\left ( \frac{sR}{L} ight )V_o(s)+\left ( \frac{1}{LC} ight )V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} ight )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \left \{ s^2+\left ( \frac{R}{L} ight )s+\frac{1}{LC} ight \}V_o(s)=\left ( \frac{1}{LC} ight )V_i(s)$$

$$\Rightarrow \frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left ( \frac{R}{L} ight )s+\frac{1}{LC}}$$

其中，

• $v_i(s)$ 是输入电压的拉普拉斯变换$v_i$

• $v_o(s)$ 是输出电压 $v_o$ 的拉普拉斯变换

上述方程是二阶电气系统的传递函数。该系统的传递函数模型如下所示。

这里，我们展示了一个二阶电气系统，其中有一个块，里面有传递函数。这个块有一个输入 $V_i(s)$ 和一个输出 $V_o(s)$。