控制系统 - 稳定性分析
在本章中，我们将使用 RouthHurwitz 稳定性标准讨论 's' 域中的稳定性分析。在此标准中，我们需要特征方程来找到闭环控制系统的稳定性。
Routh-Hurwitz 稳定性标准
Routh-Hurwitz 稳定性标准有一个必要条件和一个稳定性充分条件。如果任何控制系统不满足必要条件，那么我们可以说控制系统是不稳定的。但是，如果控制系统满足必要条件，那么它可能稳定也可能不稳定。因此，充分条件有助于了解控制系统是否稳定。
Routh-Hurwitz 稳定性的必要条件
必要条件是特征多项式的系数应为正。这意味着特征方程的所有根都应该有负实部。
考虑阶数为"n"的特征方程为 -
$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0=0$$
请注意，nth 阶特征方程中不应该有任何缺失项。这意味着nth 阶特征方程不应该有任何为零的系数。
Routh-Hurwitz 稳定性的充分条件
充分条件是 Routh 数组第一列的所有元素都应具有相同的符号。这意味着 Routh 数组第一列的所有元素要么为正数，要么为负数。
Routh 数组方法
如果特征方程的所有根都存在于"s"平面的左半部分，则控制系统是稳定的。如果特征方程的至少一个根存在于"s"平面的右半部分，则控制系统是不稳定的。因此，我们必须找到特征方程的根才能知道控制系统是稳定的还是不稳定的。但是，随着阶数的增加，找到特征方程的根会变得很困难。
因此，为了解决这个问题，我们采用了Routh 数组方法。在这种方法中，不需要计算特征方程的根。首先制定 Routh 表，并找出 Routh 表第一列中符号变化的次数。劳斯表第一列的符号变化次数决定了特征方程在's'平面右半部分存在多少个根，控制系统就不稳定。
按照此步骤形成劳斯表。
用下表中提到的特征多项式的系数填充劳斯数组的前两行。从$s^n$的系数开始，一直到$s^0$的系数。
用下表中提到的元素填充劳斯数组的其余行。继续此过程，直到得到行$s^0$的第一列元素为$a_n$。这里，$a_n$是特征多项式中$s^0$的系数。
注意 −如果 Routh 表的任何行元素都有一些共同的因子，那么你可以用该因子除以行元素，这样简化就很容易了。
下表显示了 nth 阶特征多项式的 Routh 数组。
$$a_0s^n+a_1s^{n-1}+a_2s^{n-2}+...+a_{n-1}s^1+a_ns^0$$
$s^n$ |
$a_0$ |
$a_2$ |
$a_4$ |
$a_6$ |
... |
... |
$s^{n-1}$ |
$a_1$ |
$a_3$ |
$a_5$ |
$a_7$ |
... |
... |
$s^{n-2}$ |
$b_1=\frac{a_1a_2-a_3a_0}{a_1}$ |
$b_2=\frac{a_1a_4-a_5a_0}{a_1}$ |
$b_3=\frac{a_1a_6-a_7a_0}{a_1}$ |
... |
... |
... |
$s^{n-3}$ |
$c_1=\frac{b_1a_3-b_2a_1}{b_1}$ |
$c_2=\frac{b_1a_55-b_3a_1}{b_1}$ |
$\vdots$ |
|||
$\vdots $ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
|||
$s^1$ |
$\vdots$ |
$\vdots$ |
||||
$s^0$ |
$a_n$ |
示例
让我们找出具有特征方程的控制系统的稳定性，
$$s^4+3s^3+3s^2+2s+1=0$$
步骤 1 − 验证 Routh-Hurwitz 稳定性的必要条件。
特征多项式 $s^4+3s^3+3s^2+2s+1$ 的所有系数均为正。因此，控制系统满足必要条件。
步骤 2 − 为给定的特征多项式形成 Routh 阵列。
$s^4$ |
$1$ |
$3$ |
$1$ |
$s^3$ |
$3$ |
$2$ |
|
$s^2$ |
$\frac{(3 imes 3)-(2 imes 1)}{3}=\frac{7}{3}$ |
$\frac{(3 imes 1)-(0 imes 1)}{3}=\frac{3}{3}=1$ |
|
$s^1$ |
$\frac{\left ( \frac{7}{3} imes 2 ight )-(1 imes 3)}{\frac{7}{3}}=\frac{5}{7}$ |
||
$s^0$ |
$1$ |
步骤 3 − 验证 Routh-Hurwitz 稳定性的充分条件。
Routh 数组第一列的所有元素均为正。Routh 数组第一列没有符号变化。因此，控制系统是稳定的。
Routh 数组的特殊情况
在形成 Routh 表时，我们可能会遇到两种情况。这两种情况都很难完成劳斯表。
两种特殊情况是 −
- 劳斯数组任意行的第一个元素为零。
- 劳斯数组任意行的所有元素均为零。
现在我们来逐一讨论如何克服这两种情况下的困难。
劳斯数组任意行的第一个元素为零
如果劳斯数组的任意行只包含第一个元素为零，并且其余元素中至少有一个非零值，则用一个小的正整数 $\epsilon$ 替换第一个元素。然后继续完成劳斯表的过程。现在，通过将 $\epsilon$ 代入趋向于零，找出 Routh 表第一列中符号变化的次数。
示例
让我们找出具有特征方程的控制系统的稳定性，
$$s^4+2s^3+s^2+2s+1=0$$
步骤 1 − 验证 Routh-Hurwitz 稳定性的必要条件。
特征多项式 $s^4+2s^3+s^2+2s+1$ 的所有系数均为正。因此，控制系统满足必要条件。
步骤 2 − 为给定的特征多项式形成 Routh 数组。
$s^4$ |
$1$ |
$1$ |
$1$ |
$s^3$ |
|
|
|
$s^2$ |
$\frac{(1 imes 1)-(1 imes 1)}{1}=0$ |
$\frac{(1 imes 1)-(0 imes 1)}{1}=1$ |
|
$s^1$ |
|||
$s^0$ |
行 $s^3$ 个元素的公因数为 2。因此，所有这些元素都除以 2。
特殊情况 (i) − 只有行 $s^2$ 的第一个元素为零。因此，将其替换为 $\epsilon$ 并继续完成 Routh 表的过程。
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
$s^3$ |
1 |
1 |
|
$s^2$ |
$\epsilon$ |
1 |
|
$s^1$ |
$\frac{\left ( \epsilon imes 1 ight )-\left ( 1 imes 1 ight )}{\epsilon}=\frac{\epsilon-1}{\epsilon}$ |
||
$s^0$ |
1 |
步骤 3 −验证 Routh-Hurwitz 稳定性的充分条件。
当 $\epsilon$ 趋向于零时，Routh 表将变成这样。
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
$s^3$ |
1 |
1 |
|
$s^2$ |
0 |
1 |
|
$s^1$ |
-∞ |
||
$s^0$ |
1 |
劳斯表第一列有两个符号变化。因此，控制系统不稳定。
劳斯数组任何一行的所有元素都是零
在这种情况下，请遵循这两个步骤 −
写出位于零行正上方的行的辅助方程 A(s)。
对辅助方程 A(s) 求 s 的导数。用这些系数填充零行。
示例
让我们找出具有特征方程的控制系统的稳定性，
$$s^5+3s^4+s^3+3s^2+s+3=0$$
步骤 1 −验证 Routh-Hurwitz 稳定性的必要条件。
给定特征多项式的所有系数均为正。因此，控制系统满足必要条件。
步骤 2 − 为给定的特征多项式形成 Routh 阵列。
$s^5$ |
1 |
1 |
1 |
$s^4$ |
|
|
|
$s^3$ |
$\frac{(1 imes 1)-(1 imes 1)}{1}=0$ |
$\frac{(1 imes 1)-(1 imes 1)}{1}=0$ |
|
$s^2$ |
|||
$s^1$ |
|||
$s^0$ |
行 $s^4$ 元素的公因数为 3。因此，所有这些元素都除以 3。
特殊情况 (ii) − 行 $s^3$ 的所有元素均为零。因此，写出行 $s^4$ 的辅助方程 A(s)。
$$A(s)=s^4+s^2+1$$
对 s 微分上述方程。
$$\frac{ ext{d}A(s)}{ ext{d}s}=4s^3+2s$$
将这些系数放在行 $s^3$ 中。
$s^5$ |
1 |
1 |
1 |
$s^4$ |
1 |
1 |
1 |
$s^3$ |
|
|
|
$s^2$ |
$\frac{(2 imes 1)-(1 imes 1)}{2}=0.5$ |
$\frac{(2 imes 1)-(0 imes 1)}{2}=1$ |
|
$s^1$ |
$\frac{(0.5 imes 1)-(1 imes 2)}{0.5}=\frac{-1.5}{0.5}=-3$ |
||
$s^0$ |
1 |
步骤 3 − 验证 Routh-Hurwitz 稳定性的充分条件。
Routh 表第一列有两个符号变化。因此，控制系统不稳定。
在 Routh-Hurwitz 稳定性标准中，我们可以知道闭环极点是在"s"平面的左半部分还是在"s"平面的右半部分或虚轴上。因此，我们无法找到控制系统的性质。为了克服这一限制，有一种称为根轨迹的技术。我们将在接下来的两章中讨论这种技术。
