控制系统 - 极坐标图

在前面的章节中，我们讨论了 Bode 图。在那里，我们有两个单独的图，分别表示幅度和相位，作为频率的函数。现在让我们讨论一下极坐标图。极坐标图是可以在幅度和相位之间绘制的图。在这里，幅度仅由正常值表示。

$G(j\omega)H(j\omega)$ 的极坐标形式为

$$G(j\omega)H(j\omega)=|G(j\omega)H(j\omega)| \angle G(j\omega)H(j\omega)$$

极坐标图是可以通过将 $\omega$ 从零变为 ∞ 在 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的幅度和相位角之间绘制的图。极坐标图表如下图所示。

此图表由同心圆和径向线组成。同心圆和径向线分别表示幅度和相位角。这些角度以逆时针方向的正值表示。同样，我们可以用顺时针方向的负值表示角度。例如，逆时针方向的角度 270⁰ 等于顺时针方向的角度 −90⁰。

绘制极坐标图的规则

请遵循这些规则绘制极坐标图。

• 在开环传递函数中代入 $s = j\omega$。

• 写出 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的幅度和相位表达式。

• 通过代入 $\omega = 0$ 找到 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的起始幅度和相位。因此，极坐标图以此幅度和相位角开始。

• 通过代入 $\omega = \infty$ 找到 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的结束幅度和相位。因此，极坐标图以此幅度和相位角结束。

• 通过使 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的虚项等于零并找到 $\omega$ 的值，检查极坐标图是否与实轴相交。

• 通过使 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的实项等于零并找到 $\omega$ 的值，检查极坐标图是否与虚轴相交。

• 为了更清楚地绘制极坐标图，通过考虑 $\omega$ 的其他值来找到 $G(j\omega)H(j\omega)$ 的幅度和相位。

示例

考虑闭环控制的开环传递函数系统。

$$G(s)H(s)=\frac{5}{s(s+1)(s+2)}$$

让我们使用上述规则绘制该控制系统的极坐标图。

步骤 1 −代入开环传递函数中的 $s = j\omega$。

$$G(j\omega)H(j\omega)=\frac{5}{j\omega(j\omega+1)(j\omega+2)}$$

开环传递函数的幅度为

$$M=\frac{5}{\omega(\sqrt{\omega^2+1})(\sqrt{\omega^2+4})}$$

开环传递函数的相位角为

$$\phi=-90^0- an^{-1}\omega- an^{-1}\frac{\omega}{2}$$

步骤 2 −下表显示了 $\omega = 0$ rad/sec 和 $\omega = \infty$ rad/sec 时开环传递函数的幅度和相位角。

因此，极坐标图从 (∞,−90⁰) 开始，到 (0,−270⁰) 结束。括号内的第一个和第二个项分别表示幅度和相位角。

步骤 3 − 根据起始和结束极坐标，此极坐标图将与负实轴相交。与负实轴对应的相位角为 −180⁰ 或 180⁰。因此，通过将开环传递函数的相位角设为 −180⁰ 或 180⁰，我们将得到 $\omega$ 值为 $\sqrt{2}$。

通过在开环传递函数的幅度中代入 $\omega = \sqrt{2}$，我们将得到 $M = 0.83$。因此，当 $\omega = \sqrt{2}$ 且极坐标为 (0.83,−180⁰) 时，极坐标图与负实轴相交。

因此，我们可以在极坐标图表上使用上述信息绘制极坐标图。