DSP - 逆 Z 变换

如果我们想分析一个已经在频域中表示的系统，作为离散时间信号，那么我们就可以进行逆 Z 变换。

从数学上讲，它可以表示为；

$$x(n) = Z^{-1}X(Z)$$

其中 x(n) 是时域信号，X(Z) 是频域信号。

如果我们想以积分格式表示上述方程，那么我们可以将其写为

$$x(n) = (\frac{1}{2\Pi j})\oint X(Z)Z^{-1}dz$$

这里，积分是在一条闭合路径 C 上。这条路径在 x(z) 的 ROC 内，并且确实包含原点。

查找逆 Z 变换的方法

当分析需要离散格式，我们通过逆 Z 变换将频域信号转换回离散格式。我们按照以下四种方法确定逆 Z 变换。

在该方法中，信号 x (z) 的 Z 变换可以表示为多项式的比率，如下所示；

$$x(z)=N(Z)/D(Z)$$

现在，如果我们继续用分子除以分母，那么我们将得到如下所示的级数

$$X(z) = x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$$

上述序列表示给定信号的逆 Z 变换级数（对于 n≥0）和上述系统是因果的。

但是对于 n<0，该系列可以写成；

$$x(z) = x(-1)Z^1+x(-2)Z^2+x(-3)Z^3+...\quad...\quad...$$

这里信号也首先以 N (z)/D (z) 形式表示。

如果它是有理分数，它将表示如下；

$x(z) = b_0+b_1Z^{-1}+b_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+b_mZ^{-m})/(a_0+a_1Z^{-1}+a_2Z^{-2}+...\quad...\quad...+a_nZ^{-N})$

当 m<n 且 an≠0 时，上述公式不成立

如果比例不合适（即不合适），则我们必须将其转换为合适的形式才能解决它。

在此方法中，我们通过对所有极点的 $[x(z)Z^{n-1}]$ 残差求和来获得逆 Z 变换 x(n)。从数学上讲，这可以表示为

$$x(n) = \displaystyle\sum\limits_{all\quad poles\quad X(z)}residues\quad of[x(z)Z^{n-1}]$$

Here, the residue for any pole of order m at $z = \beta$ is

$$Residues = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{Z ightarrow \beta}\lbrace \frac{d^{m-1}}{dZ^{m-1}}\lbrace (z-\beta)^mX(z)Z^{n-1} brace$$