DSP - Z 变换简介
离散时间傅里叶变换 (DTFT) 适用于能量和功率信号。Z 变换也适用于非能量非功率 (NENP) 类型的信号，但仅限于一定程度。替换 $z=e^{jw}$ 仅用于绝对可加信号的 Z 变换到 DTFT 转换。
因此，幂级数中的离散时间信号 x(n) 的 Z 变换可以写为 −
$$X(z) = \sum_{n-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$$上述方程表示双边 Z 变换方程。
通常，当信号进行 Z 变换时，可以表示为 −
$$X(Z) = Z[x(n)]$$或 $x(n) \longleftrightarrow X(Z)$
如果是连续时间信号，则不需要 Z 变换，因为使用了拉普拉斯变换。然而，离散时间信号只能通过 Z 变换进行分析。
收敛区域
收敛区域是 Z 平面中复变量 Z 的范围。信号的 Z 变换是有限的或收敛的。因此，ROC 表示 Z 的那些值集，对于这些值，X(Z) 具有有限值。
ROC 的属性
- ROC 不包括任何极点。
- 对于右侧信号，ROC 将位于 Z 平面的圆外。
- 对于左侧信号，ROC 将位于 Z 平面的圆内。
- 为了稳定性，ROC 包括 Z 平面中的单位圆。
- 对于两侧信号，ROC 是 Z 平面中的一个环。
- 对于有限持续时间信号，ROC 是整个 Z 平面。
Z 变换的唯一特征是 −
- X(Z) 的表达式
- ROC X(Z)
信号及其 ROC
| x(n) | X(Z) | ROC |
|---|---|---|
| $\delta(n)$ | $1$ | 整个 Z平面 |
| $U(n)$ | $1/(1-Z^{-1})$ | Mod(Z)>1 |
| $a^nu(n)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | Mod(Z)>Mod(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $1/(1-aZ^{-1})$ | M od(Z)<Mod(a) |
| $na^nu(n)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | Mod(Z)>Mod(a) |
| $-a^nu(-n-1)$ | $aZ^{-1}/(1-aZ^{-1})^2$ | Mod(Z)<Mod(a) |
| $U(n)\cos \omega n$ | $(Z^2-Z\cos \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod(Z)>1 |
| $U(n)\sin \omega n$ | $(Z\sin \omega)/(Z^2-2Z \cos \omega +1)$ | Mod(Z)>1 |
示例
让我们找出给定信号的 Z 变换和 ROC，其中 $x(n) = \lbrace 7,3,4,9,5 brace$，其中系列的原点位于3.
解决方案 −应用公式我们得到 −
$X(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)Z^{-n}$
$= \sum_{n=-1}^3 x(n)Z^{-n}$
$= x(-1)Z+x(0)+x(1)Z^{-1}+x(2)Z^{-2}+x(3)Z^{-3}$
$= 7Z+3+4Z^{-1}+9Z^{-2}+5Z^{-3}$
ROC 是整个 Z 平面，不包括 Z = 0、∞、-∞
