DSP - DFT 时频变换
我们知道，当 $\omega = 2\pi K/N$ 且 $N ightarrow \infty 时，\omega$ 变为连续变量，极限求和变为 $-\infty$ 至 $+\infty$。
因此，
$$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{j\omega}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{\frac{-j2\pi nk}{N}} = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$$离散时间傅里叶变换 (DTFT)
我们知道， $X(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j\omega n}$
其中，$X(e^{j\omega})$在 ω 中是连续且周期性的周期为 2π。…eq(1)
现在，
$x_p(n) = \sum_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2 \pi nk/N}$ … 来自傅里叶级数
$x_p(n) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N} imes \frac{2\pi}{N}$
ω由于上述原因，变为连续的，并且$\frac{2\pi}{N} ightarrow d\omega$。
$x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{n = 0}^{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega$…eq(2)
逆离散时间傅里叶变换
符号表示为
$x(n)\Longleftrightarrow x(e^{j\omega})$(傅里叶变换对)
非周期序列离散时间傅里叶变换存在的必要充分条件x(n) 是绝对可和的。
即$\sum_{n = -\infty}^\infty|x(n)|<\infty$
DTFT 的属性
线性 : $a_1x_1(n)+a_2x_2(n)\Leftrightarrow a_1X_1(e^{j\omega})+a_2X_2(e^{j\omega})$
时间移位 − $x(n-k)\Leftrightarrow e^{-j\omega k}.X(e^{j\omega})$
时间反转 − $x(-n)\Leftrightarrow X(e^{-j\omega})$
频率偏移 − $e^{j\omega _0n}x(n)\Leftrightarrow X(e^{j(\omega -\omega _0)})$
微分频域 − $nx(n) = j\frac{d}{d\omega}X(e^{j\omega})$
卷积 − $x_1(n)*x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega}) imes X_2(e^{j\omega})$
乘法 − $x_1(n) imes x_2(n)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega})$
相关性 − $y_{x_1 imes x_2}(l)\Leftrightarrow X_1(e^{j\omega}) imes X_2(e^{j\omega})$
调制定理 − $x(n)\cos \omega _0n = \frac{1}{2}[X_1(e^{j(\omega +\omega _0})*X_2(e^{jw})$
对称性 −$x^*(n)\Leftrightarrow X^*(e^{-j\omega})$ ;
$x^*(-n)\Leftrightarrow X^*(e^{j\omega})$ ;
$Real[x(n)]\Leftrightarrow X_{even}(e^{j\omega})$ ;
$Imag[x(n)]\Leftrightarrow X_{odd}(e^{j\omega})$ ;
$x_{even}(n)\Leftrightarrow Real[x(e^{j\omega})]$ ;
$x_{odd}(n)\Leftrightarrow Imag[x(e^{j\omega})]$ ;
帕塞瓦尔定理 − $\sum_{-\infty}^\infty|x_1(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X_1(e^{j\omega})|^2d\omega$
之前，我们研究了频域采样。有了这些基础知识，我们在频域中采样 $X(e^{j\omega})$，以便可以从采样数据中进行方便的数字分析。因此，DFT 在时间和频域中采样。假设 $x(n) = x_p(n)$
因此，DFT 给出如下公式 −
$X(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)e^{-\frac{j2\pi nk}{N}}$,k=0,1,….,N−1…eq(3)
IDFT 由 − 给出
$X(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k)e^{\frac{j2\pi nk}{N}}$,n=0,1,….,N−1…eq(4)
$因此 x(n)\Leftrightarrow X(k)$
旋转因子
它表示为 $W_N$，定义为 $W_N = e^{-j2\pi /N}$ 。其幅度始终保持在 1。相位为 $W_N = -2\pi /N$ 。它是单位圆上的矢量，用于计算方便。从数学上来说，它可以表示为 −
$W_N^r = W_N^{r\pm N} = W_N^{r\pm 2N} = ...$
它是 r 和周期 N 的函数。
考虑 N = 8，r = 0,1,2,3，….14,15,16，….
$\Longleftrightarrow W_8^0 = W_8^8 = W_8^{16} = ... = ... = W_8^{32} = ... =1= 1\angle 0$
$W_8^1 = W_8^9 = W_8^{17} = ... = ... = W_8^{33} = ... =\frac{1}{\sqrt 2}= j\frac{1}{\sqrt 2} = 1\angle-\frac{\pi}{4}$
线性变换
让我们了解线性变换 −
我们知道，
$DFT(k) = DFT[x(n)] = X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n).W_n^{-nk};\quad k = 0,1,….,N−1$
$x(n) = IDFT[X(k)] = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(k).W_N^{-nk};\quad n = 0,1,….,N−1$
注意 − DFT 的计算可以通过 N2 次复数乘法和 N(N-1) 次复数加法来执行。
$x_N = \begin{bmatrix}x(0)\x(1)\.\.\x(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad point\quad vector\quad of\quad signal\quad x_N$
$X_N = \begin{bmatrix}X(0)\X(1)\.\.\X(N-1) \end{bmatrix}\quad N\quad point\quad vector\quad of\quad signal\quad X_N$
$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & ... & ... & 1\1 & W_N & W_N^2 & ... & ... & W_N^{N-1}\. & W_N^2 & W_N^4 & ... & ... & W_N^{2(N-1)}\.\1 & W_N^{N-1} & W_N^{2(N-1)} & ... & ... & W_N^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix}$
矩阵项中的 N 点 DFT 由以下公式给出 - $X_N = W_Nx_N$
$W_N\longmapsto$ 线性变换矩阵
$现在，\quad x_N = W_N^{-1}X_N$
矩阵形式的 IDFT 由以下公式给出
$$x_N = \frac{1}{N}W_N^*X_N$$比较 $x_N、\quad W_N^{-1} = \frac{1}{N}W_N^*$ 和 $W_N imes W_N^* = N[I]_{N imes 的表达式N}$
因此，$W_N$是一个线性变换矩阵，一个正交（酉）矩阵。
从$W_N$的周期性及其对称性可以得出结论，$W_N^{k+N/2} = -W_N^k$
圆对称性
有限持续时间x(n)的长度为N≤L的N点DFT，等价于x(n)的周期扩展的N点DFT，即周期为N的$x_p(n)$，且$x_p(n) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)$。现在，如果我们将序列（一个周期序列）向右移动k个单位，则会得到另一个周期序列。这被称为循环移位，其公式为：
$$x_p^\prime (n) = x_p(n-k) = \sum_{l = -\infty}^\infty x(n-k-Nl)$$新的有限序列可以表示为
$$x_p^\prime (n) = \begin{cases}x_p^\prime(n), & 0\leq n\leq N-1\0 & Other\end{cases}$$示例 −令 x(n)= {1,2,4,3}, N = 4,
$x_p^\prime (n) = x(n-k,modulo\quad N)\equiv x((n-k))_N\quad;ex-if\quad k=2i.e\quad 2\quad unit\quad right\quad shift\quad and\quad N = 4,$
假设顺时针方向为正方向。
我们得到，$x\prime(n) = x((n-2))_4$
$x\prime(0) = x((-2))_4 = x(2) = 4$
$x\prime(1) = x((-1))_4 = x(3) = 3$
$x\prime(2) = x((-2))_4 = x(0) = 1$
$x\prime(3) = x((1))_4 = x(1) = 2$
结论 − N 点序列的循环移位等价于其周期延伸的线性移位，反之亦然。
循环偶数序列 − $x(N-n) = x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$
$即 x_p(n) = x_p(-n) = x_p(N-n)$
偶数共轭 −$x_p(n) = x_p^*(N-n)$
循环奇数序列 − $x(N-n) = -x(n),\quad 1\leq n\leq N-1$
$即 x_p(n) = -x_p(-n) = -x_p(N-n)$
共轭奇数 − $x_p(n) = -x_p^*(N-n)$
现在，$x_p(n) = x_{pe}+x_{po}(n)$，其中，
$x_{pe}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)+x_p^*(N-n)]$
$x_{po}(n) = \frac{1}{2}[x_p(n)-x_p^*(N-n)]$
对于任何实信号 x(n)，$X(k) = X^*(N-k)$
$X_R(k) = X_R(N-k)$
$X_l(k) = -X_l(N-k)$
$\angle X(k) = -\angle X(N-K)$
时间反转 − 反转第 0 个样本的样本。具体如下：
$x((-n))_N = x(N-n),\quad 0\leq n\leq N-1$
时间反转是绘制序列样本，顺时针方向，即假定为负方向。
其他一些重要属性
其他重要的 IDFT 属性 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$
时间反转 − $x((-n))_N = x(N-n)\longleftrightarrow X((-k))_N = X(N-k)$
循环时间移位 − $x((n-l))_N \longleftrightarrow X(k)e^{j2\pi lk/N}$
循环频移 − $x(n)e^{j2\pi ln/N} \longleftrightarrow X((k-l))_N$
复共轭性质 −
$x^*(n)\longleftrightarrow X^*((-k))_N = X^*(N-k)\quad and$
$x^*((-n))_N = x^*(N-n)\longleftrightarrow X^*(-k)$
两个序列的乘法 −
$x_1(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quad 和\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(k)$
$ 因此 x_1(n)x_2(n)\longleftrightarrow X_1(k)\quadⓃ X_2(k)$
循环卷积 −和两个 DFT 的乘法
$x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k) =\sum_{k = 0}^{N-1}x_1(n).x_2((m-n))_n,\quad m = 0,1,2,... .,N-1 $
$x_1(k)\quad Ⓝ x_2(k)\longleftrightarrow X_1(k).X_2(k)$
循环相关 −如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 且 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$ ，则存在一个互相关序列，记为 $\bar Y_{xy}$ ，使得 $\bar Y_{xy}(l) = \sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*((n-l))_N = X(k).Y^*(k)$
Parseval 定理 −如果 $x(n)\longleftrightarrow X(k)$ 且 $y(n)\longleftrightarrow Y(k)$；
$\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{n =0}^{N-1}X(k).Y^*(k)$
