傅里叶级数和变换

在上一篇频域分析教程中，我们讨论了傅里叶级数和傅里叶变换用于将信号转换为频域。

傅里叶

傅里叶是 1822 年的数学家。他提出了傅里叶级数和傅里叶变换将信号转换为频域。

傅里叶级数

傅里叶级数简单地说，周期信号乘以一定权重后可以表示为正弦和余弦之和。它进一步指出，周期信号可以分解为具有以下属性的进一步信号。

• 信号是正弦和余弦
• 信号是彼此的谐波

它可以以图形方式查看为

在上述信号中，最后一个信号实际上是所有上述信号的总和。这就是傅里叶的思想。

如何计算

正如我们在频域中看到的那样，为了在频域中处理图像，我们需要首先将其转换为频域，然后我们必须对输出取逆以将其转换回空间域。这就是为什么傅里叶级数和傅里叶变换都有两个公式的原因。一个用于转换，一个将其转换回空间域。

傅里叶级数

傅里叶级数可以用这个公式表示。

可以通过这个公式计算逆。

傅里叶变换

傅里叶变换简单地说，曲线下面积有限的非周期信号在乘以一定权重后也可以表示为正弦和余弦的积分。

傅里叶变换具有许多广泛的应用，包括图像压缩（例如 JPEG 压缩）、过滤和图像分析。

傅里叶级数和变换之间的区别

虽然傅里叶级数和傅里叶变换都是由傅里叶给出的，但它们之间的区别是傅里叶级数应用于周期信号，而傅里叶变换应用于非周期信号

哪一个应用于图像

现在的问题是，傅里叶级数和傅里叶变换哪一个应用于图像。好吧，这个问题的答案在于图像是什么。图像是非周期性的。由于图像是非周期性的，因此使用傅里叶变换将它们转换为频域。

离散傅里叶变换

由于我们处理的是图像，实际上是数字图像，因此对于数字图像，我们将进行离散傅里叶变换

考虑上述正弦曲线的傅里叶项。它包括三件事。

• 空间频率
• 幅度
• 相位

空间频率与图像的亮度直接相关。正弦曲线的幅度与对比度直接相关。对比度是最大和最小像素强度之间的差异。相位包含颜色信息。

二维离散傅里叶变换的公式如下。

离散傅里叶变换实际上是采样傅里叶变换，因此它包含一些表示图像的样本。上式中 f(x,y) 表示图像，F(u,v) 表示离散傅里叶变换。二维逆离散傅里叶变换的公式如下。

逆离散傅里叶变换将傅里叶变换转换回图像

考虑这个信号

现在我们将看到一个图像，我们将计算其 FFT 幅度谱，然后计算移位 FFT 幅度谱，然后取移位频谱的对数。

原始图像

傅里叶变换幅度谱

移位傅里叶变换

移位幅度谱