数字电路 - 两级逻辑实现
在两级逻辑中，输入和输出之间存在的最大级数为 2。这意味着，无论逻辑门的总数是多少，在两级逻辑中，任何输入和输出之间存在（级联）的逻辑门的最大数量为 2。在这里，第一级逻辑门的输出作为第二级逻辑门的输入连接。
考虑四个逻辑门 AND、OR、NAND 和 NOR。由于有 4 个逻辑门，我们将得到 16 种实现两级逻辑的可能方法。它们是AND-AND、AND-OR、ANDNAND、AND-NOR、OR-AND、OR-OR、OR-NAND、OR-NOR、NAND-AND、NAND-OR、NANDNAND、NAND-NOR、NOR-AND、NOR-OR、NOR-NAND、NOR-NOR。
这些两级逻辑实现可分为以下两类。
- 退化形式
- 非退化形式
退化形式
如果两级逻辑实现的输出可以通过单个逻辑门获得，则称为退化形式。显然，单个逻辑门的输入数量增加。因此，逻辑门的扇入增加。这是退化形式的一个优点。
在 16 种组合中，只有 6 种组合 属于退化形式的两级逻辑实现。它们是 AND-AND、AND-NAND、OR-OR、OR-NOR、NAND-NOR、NORNAND。
在本节中，让我们讨论一些实现。假设 A、B、C 和 D 是每个逻辑实现中的输入，Y 是输出。
AND-AND 逻辑
在此逻辑实现中，AND 门存在于两个级别中。下图显示了 AND-AND 逻辑 实现的示例。
我们将得到第一级逻辑门的输出，即 $Y_{1}=AB$ 和 $Y_{2}=CD$
这些输出，$Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 用作第二级 AND 门的输入。因此，该 AND 门的输出为
$$Y=Y_{1}Y_{2}$$
在上述等式中代入 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值。
$$Y=\left ( AB ight )\left ( CD ight )$$
$\Rightarrow Y=ABCD$
因此，该 AND-AND 逻辑实现的输出为 ABCD。此布尔函数可通过使用 4 输入 AND 门来实现。因此，它是 退化形式。
AND-NAND 逻辑
在此逻辑实现中，AND 门位于第一级，NAND 门位于第二级。下图显示了AND-NAND逻辑实现的一个例子。
之前，我们得到第一级逻辑门的输出为 $Y_{1} = AB$ 和 $Y_{2} = CD$
这些输出，$Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 被用作第二级 NAND 门的输入。因此，该 NAND 门的输出为
$$Y={\left ( Y_{1}Y_{2} ight )}'$$
将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上述等式中。
$$Y={\left ( \left ( AB ight ) \left ( CD ight ) ight )}'$$
$\Rightarrow Y={\left ( ABCD ight )}'$
因此，该 AND-NAND 逻辑实现的输出为 ${\left ( ABCD ight )}'$。该布尔函数可使用 4 输入 NAND 门来实现。因此，它是退化形式。
或-或逻辑
在此逻辑实现中，或门存在于两个级别。下图显示了或-或逻辑实现的示例。
我们将得到第一级逻辑门的输出，即$Y_{1}=A+B$和$Y_{2}=C+D$。
这些输出，$Y_{1}$和$Y_{2}$被用作第二级的或门的输入。因此，该或门的输出为
$$Y=Y_{1}+Y_{2}$$
将 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值代入上述等式中。
$$Y=\left ( A+B ight )+\left ( C+D ight )$$
$\Rightarrow Y=A+B+C+D$
因此，该或-或逻辑实现的输出为 A+B+C+D。该布尔函数可使用 4 输入或门来实现。因此，它是退化形式。
同样，您可以验证其余实现是否属于此类别。
非退化形式
如果两级逻辑实现的输出不能通过使用单个逻辑门获得，则称为非退化形式。
两级逻辑实现的其余10 个组合属于非退化形式。这些组合是AND-OR、AND-NOR、OR-AND、OR-NAND、NAND-AND、NANDOR、NAND-NAND、NOR-AND、NOR-OR、NOR-NOR。
现在，让我们讨论一些实现。假设，A、B、C 和 D 是输入，Y 是每个逻辑实现中的输出。
与或逻辑
在此逻辑实现中，与门位于第一级，或门位于第二级。下图显示了与或逻辑实现的示例。
之前，我们得到第一级逻辑门的输出为 $Y_{1} = AB$ 和 $Y_{2} = CD$。
这些输出 Y1 和 Y2 用作第二级或门的输入。因此，该或门的输出为
$$Y=Y_{1}+Y_{2}$$
在上述等式中代入 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值
$$Y=AB+CD$$
因此，该与或逻辑实现的输出为 AB+CD。此布尔函数为 乘积和 形式。由于我们无法使用单个逻辑门来实现它，因此该与或逻辑实现为 非退化形式。
与或非逻辑
在此逻辑实现中，与门存在于第一级，或非门存在于第二级。下图显示了 AND-NOR 逻辑 实现的示例。
我们知道第一级逻辑门的输出为 $Y_{1} = AB$ 和 $Y_{2} = CD$
这些输出 Y1 和 Y2 用作第二级 NOR 门的输入。因此，该 NOR 门的输出为
$$Y={\left ( Y_{1}+Y_{2} ight )}'$$
在上述等式中代入 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 值。
$$Y={\left ( AB+CD ight )}'$$
因此，该 AND-NOR 逻辑实现的输出为 ${\left ( AB+CD ight )}'$。该布尔函数为 AND-OR-Invert 形式。由于我们无法使用单个逻辑门来实现它，因此该 AND-NOR 逻辑实现为 非退化形式
OR-AND 逻辑
在此逻辑实现中，OR 门存在于第一级，AND 门存在于第二级。下图显示了 OR-AND 逻辑 实现的示例。
之前，我们得到第一级逻辑门的输出为 $Y_{1}=A+B$ 和 $Y_{2}=C+D$。
这些输出 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 用作第二级 AND 门的输入。因此，该与门的输出为
$$Y=Y_{1}Y_{2}$$
将$Y_{1}$和$Y_{2}$值代入上述等式中。
$$Y = \left ( A+B ight )\left ( C+D ight )$$
因此，该或与逻辑实现的输出为(A + B) (C + D)。该布尔函数为和的乘积形式。由于我们无法使用单个逻辑门来实现它，因此该或与逻辑实现为非退化形式。
同样，您可以验证其余实现是否属于此类别。
