数字电路 - 阈值逻辑

在前面的章节中，我们已经使用逻辑门实现了各种组合电路。除了非门之外，其余所有逻辑门都至少有两个输入和一个输出。同样，阈值门也包含至少一个输入和只有一个输出。

此外，它还包含每个输入的相应权重和阈值。这些权重和阈值的值可以是任何有限实数。

阈值门的基础知识

假设阈值门的输入为 X₁、X₂、X₃、…、X_n。这些输入的相应权重为 W₁、W₂、W₃、…、W_n。阈值门的符号如下图所示。

阈值门用圆圈表示，有'n'个输入，X₁到X_n和单个输出Y。这个圆圈分为两部分。一部分表示与输入相对应的权重，另一部分表示阈值T。

输入与相应权重的乘积之和称为加权和。如果这个加权和大于或等于阈值T，那么只有输出Y等于一。否则，输出 Y 将等于零。

从数学上讲，我们可以将阈值门的输入和输出之间的关系写成如下形式。

$$Y=1，如果 \: \: W_{1}X_{1}+W_{2}X_{2}+W_{3}X_{3}+...W_{n}X_{n}\geq T$$

𝑌 = 0，否则。

因此，我们可以通过改变权重和/或阈值 T 的值来实现各种逻辑门和布尔函数。

示例

让我们找到以下阈值门的简化布尔函数。

此阈值门具有三个输入 X₁、X₂、X₃ 和一个输出 Y。

与输入 X₁、X₂ 和 X₃ 对应的权重为 W₁ = 2、W₂ = 1 和W₃ = -4。

阈值门的值为 T = -1。

阈值门的加权和为

$$W=W_{1}X_{1}+W_{2}X_{2}+W_{3}X_{3}$$

将给定的权重代入上述等式。

$$\Rightarrow W=2X_{1}+X_{2}-4X_{3}$$

阈值门的输出，如果 W ≥ −1，Y 将为"1"，否则将为"0"。

以下表格显示了所有可能的输入组合的输入和输出之间的关系。

从上表中，我们可以将输出 Y 的布尔函数写为

$$Y= \sum m\left ( 0,2,4,6,7 ight )$$

使用3 变量 K-Map简化此布尔函数如下图所示。

因此，给定阈值门的简化布尔函数为 $Y={X_{3}'}+X_{1}X_{2}$。

阈值函数的合成

阈值门也称为通用门，因为我们可以使用实现任何布尔函数阈值门。有时，可能无法使用单个阈值门来实现几个逻辑门和布尔函数。在这种情况下，我们可能需要多个阈值门。

按照这些步骤使用单个阈值门实现布尔函数。

步骤 1 − 为给定的布尔函数制定真值表。

步骤 2 − 在上面的真值表中，添加（包括）一列，给出加权和与阈值之间的关系。

步骤 3 −写出下面提到的每个输入组合的加权和与阈值之间的关系。

• 如果布尔函数的输出为 1，则这些输入组合的加权和将大于或等于阈值。

• 如果布尔函数的输出为 0，则这些输入组合的加权和将小于阈值。

步骤 4 − 选择权重和阈值的值，使它们满足上表最后一列中的所有关系。

步骤 5 −用这些权重和阈值绘制阈值门的符号。

示例

让我们使用单个阈值门实现以下布尔函数。

$$Y\left ( X_{1},X_{2},X_{3} ight )=\sum m\left ( 0,2,4,6,7 ight )$$

给定的布尔函数是一个三变量函数，以最小项和形式表示。此函数的真值表如下所示。

现在，让我们在上面的真值表中添加（包括）一列。最后一列包含每个输入组合的加权和（W）与阈值值（T）之间的关系。

以下是从上表得出的结论。

• 根据第一个关系，Threshold 的值应为零或负数。

• 根据第一和第二个关系，W₃ 的值应为负数。

• 根据第五个和第三个关系，W₁ 和 W₂ 的值应大于或等于 Threshold 值。

• 根据第四个关系，W₂ 应大于 W₃。

根据上述结论，我们可以为权重和 Threshold 选择以下值。

W₁=2, W₂=1, W₃= -4 & T = -1

具有上述值的阈值门的符号如下所示。

因此，此阈值门实现了给定的布尔函数，$Y\left ( X_{1}, X_{2},X_{3} ight )=\sum m\left ( 0,2,4,6,7 ight )$。