数字电路 - 布尔代数
布尔代数是一种代数，它处理二进制数和二进制变量。因此，它也被称为二进制代数或逻辑代数。一位名叫乔治·布尔的数学家于 1854 年开发了这种代数。此代数中使用的变量也称为布尔变量。
与逻辑"高"相对应的电压范围用"1"表示，与逻辑"低"相对应的电压范围用"0"表示。
布尔代数的公理和基本定律
在本节中，让我们讨论布尔代数中使用的布尔公理和基本定律。这些对于最小化布尔函数很有用。
布尔公理
考虑二进制数 0 和 1、布尔变量 (x) 及其补码 (x')。布尔变量或其补码称为文字。这些文字和二进制数之间可能的四种逻辑或运算如下所示。
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x' = 1
同样，这些文字和二进制数之间可能的四种逻辑与运算如下所示。
x.1 = x
x.0 = 0
x.x = x
x.x' = 0
这些是简单的布尔公理。我们可以通过用"0"或"1"替换布尔变量来轻松验证这些假设。
注意− 任何布尔变量的补数的补数等于变量本身。即 (x')'=x。
布尔代数的基本定律
以下是布尔代数的三个基本定律。
- 交换律
- 结合律
- 分配律
交换律
如果两个布尔变量的任何逻辑运算无论这两个变量的顺序如何都给出相同的结果，则该逻辑运算被称为交换的。两个布尔变量 x & 的逻辑或和逻辑与运算y 如下所示
x + y = y + x
x.y = y.x
符号"+"表示逻辑或运算。同样，符号"。"表示逻辑与运算，表示方式可选。逻辑或和逻辑与运算遵循交换律。
结合律
如果先对任意两个布尔变量执行逻辑运算，然后对剩余变量执行相同运算并得出相同结果，则该逻辑运算称为结合。三个布尔变量 x、y 和 z 的逻辑或和逻辑与运算如下所示。
x + (y + z) = (x + y) + z
x.(y.z) = (x.y).z
逻辑或和逻辑与运算遵循结合律。
分配律
如果任何逻辑运算可以分配给布尔函数中存在的所有项，则该逻辑运算被称为分配。三个布尔变量 x、y 和 z 的逻辑或和逻辑与运算的分布如下所示。
x.(y + z) = x.y + x.z
x + (y.z) = (x + y).(x + z)
逻辑或和逻辑与运算遵循分配律。
这些是布尔代数的基本定律。我们可以通过用"0"或"1"替换布尔变量来轻松验证这些定律。
布尔代数定理
布尔代数中使用了以下两个定理。
- 对偶定理
- 德摩根定理
对偶定理
该定理指出，布尔函数的对偶是通过将逻辑 AND 运算符与逻辑 OR 运算符交换并将零与一交换而获得的。对于每个布尔函数，都会有一个相应的对偶函数。
让我们将我们在布尔公理和基本定律部分讨论的布尔方程（关系）分成两组。下表显示了这两组。
| Group1 | Group2 |
|---|---|
| x + 0 = x | x.1 = x |
| x + 1 = 1 | x.0 = 0 |
| x + x = x | x.x = x |
| x + x’ = 1 | x.x’ = 0 |
| x + y = y + x | x.y = y.x |
| x + (y + z) = (x + y) + z | x.(y.z) = (x.y).z |
| x.(y + z) = x.y + x.z | x + (y.z) = (x + y).(x + z) |
每行有两个布尔方程，它们彼此对偶。我们可以通过对偶定理验证 Group1 和 Group2 的所有布尔方程。
德摩根定理
该定理在寻找布尔函数的补函数时很有用。它指出，至少两个布尔变量的逻辑或的补码等于每个补码变量的逻辑与。
德摩根定理对于 2 个布尔变量 x 和 y 可以表示为
(x + y)' = x'.y'
上述布尔函数的对偶是
(x.y)' = x' + y'
因此，两个布尔变量的逻辑与的补码等于每个补码变量的逻辑或。同样，我们也可以将德摩根定理应用于 2 个以上的布尔变量。
布尔函数的简化
到目前为止，我们讨论了布尔代数的公理、基本定律和定理。现在，让我们简化一些布尔函数。
示例 1
让我们简化布尔函数，f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr
我们可以用两种方法简化此函数。
方法 1
给定布尔函数，f = p'qr + pq'r + pqr' +pqr。
步骤 1 − 在第一和第二项中 r 是共同的，在第三和第四项中 pq 是共同的。因此，使用分配律取共同项。
⇒ f = (p'q + pq')r + pq(r' + r)
步骤 2 − 第一个括号中的项可以简化为 Ex-OR 运算。第二个括号中的项可以使用布尔公理简化为"1"
⇒ f = (p ⊕q)r + pq(1)
步骤 3 − 第一个项无法进一步简化。但是，第二个项可以使用布尔公理简化为 pq。
⇒ f = (p ⊕q)r + pq
因此，简化的布尔函数为 f = (p⊕q)r + pq
方法 2
给定布尔函数，f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr。
步骤 1 − 使用布尔公理，x + x = x。这意味着，与任何布尔变量进行'n'次逻辑或运算将等于同一个变量。因此，我们可以将最后一个项 pqr 再写两次。
⇒ f = p’qr + pq’r + pqr’ + pqr + pqr + pqr
步骤 2 − 对第一和第四项、第二和第五项、第三和第六项使用分配律。
⇒ f = qr(p' + p) + pr(q' + q) + pq(r' + r)
步骤 3 − 使用布尔公理，x + x' = 1 简化每个括号中的项。
⇒ f = qr(1) + pr(1) + pq(1)
步骤4 − 使用布尔公设，x.1 = x 来简化上述三个项。
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
因此，简化后的布尔函数为f = pq + qr + pr。
因此，在每种方法中简化给定的布尔函数后，我们得到了两个不同的布尔函数。从功能上讲，这两个布尔函数是相同的。因此，根据需求，我们可以选择这两个布尔函数中的一个。
示例 2
让我们找到布尔函数 f = p'q + pq' 的补数。
布尔函数的补数是 f' = (p'q + pq')'。
步骤 1 − 使用德摩根定理，(x + y)' = x'.y'。
⇒ f' = (p'q)'.(pq')'
步骤 2 − 使用德摩根定理，(x.y)' = x' + y'
⇒ f' = {(p')' + q'}.{p' + (q')'>
步骤3 − 使用布尔公设，(x')'=x。
⇒ f' = {p + q'}.{p' + q>
⇒ f' = pp' + pq + p'q' + qq'
步骤4 − 使用布尔公设，xx'=0。
⇒ f = 0 + pq + p'q' + 0
⇒ f = pq + p'q'
因此，布尔函数 p'q + pq' 的补是pq + p'q'。
