数字电路 - 规范和标准形式
我们将两个变量 x 和 y 与逻辑 AND 运算相结合，得到四个布尔乘积项。这些布尔乘积项称为最小项或标准乘积项。最小项为 x'y'、x'y、xy' 和 xy。
同样，我们将两个变量 x 和 y 与逻辑 OR 运算相结合，得到四个布尔和项。这些布尔和项称为最大项或标准和项。最大项为 x + y、x + y'、x' + y 和 x' + y'。
下表显示了 2 个变量的最小项和最大项的表示。
| x | y | 最小项 | 最大项 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m0=x’y’ | M0=x + y |
| 0 | 1 | m1=x’y | M1=x + y’ |
| 1 | 0 | m2=xy’ | M2=x’ + y |
| 1 | 1 | m3=xy | M3=x’ + y’ |
如果二进制变量为"0"，则它在最小项中表示为变量的补码，在最大项中表示为变量本身。同样，如果二进制变量为"1"，则它在最大项中表示为变量的补码，在最小项中表示为变量本身。
从上表中，我们可以很容易地注意到最小项和最大项是互为补码的。如果有"n"个布尔变量，那么将有 2n 个最小项和 2n 个最大项。
规范的 SoP 和 PoS 形式
真值表由一组输入和输出组成。如果有"n"个输入变量，那么将有 2n 种可能的组合，其中 0 和 1。因此，每个输出变量的值取决于输入变量的组合。因此，对于某些输入变量组合，每个输出变量将具有"1"，而对于其他输入变量组合，每个输出变量将具有"0"。
因此，我们可以用以下两种方式表示每个输出变量。
- 规范 SoP 形式
- 规范 PoS 形式
规范 SoP 形式
规范 SoP 形式表示规范乘积和形式。在此形式中，每个乘积项包含所有文字。因此，这些乘积项只不过是最小项。因此，规范 SoP 形式也称为最小项和形式。
首先，确定输出变量为 1 的最小项，然后对这些最小项进行逻辑或运算，以获得与该输出变量相对应的布尔表达式（函数）。此布尔函数将采用最小项之和的形式。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量执行相同的程序。
示例
考虑以下真值表。
| 输入 | 输出 | ||
|---|---|---|---|
| p | q | r | f |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
这里，对于四种输入组合，输出 (f) 为"1"。相应的最小项为 p'qr、pq'r、pqr'、pqr。通过对这四个最小项进行逻辑或，我们将得到输出 (f) 的布尔函数。
因此，输出的布尔函数为，f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr。这是输出 f 的规范 SoP 形式。我们也可以用以下两种符号表示该函数。
$$f = m_{3}+m_{5}+m_{6}+m_{7}$$
$$f = \sum m\left ( 3,5,6,7 ight )$$
在一个方程中，我们将函数表示为各个最小项之和。在其他方程中，我们使用符号来表示这些最小项的和。
规范 PoS 形式
规范 PoS 形式表示和的规范乘积形式。在这种形式中，每个和项都包含所有文字。因此，这些和项只不过是最大项。因此，规范 PoS 形式也称为最大项的乘积形式。
首先，确定输出变量为零的最大项，然后对这些最大项进行逻辑与，以获得与该输出变量相对应的布尔表达式（函数）。此布尔函数将采用最大项乘积的形式。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量执行相同的程序。
示例
考虑上一个示例的相同真值表。在这里，对于四种输入组合，输出 (f) 为"0"。对应的最大项为 p + q + r、p + q + r'、p + q' + r、p' + q + r。对这四个最大项进行逻辑与运算，我们将得到输出 (f) 的布尔函数。
因此，输出的布尔函数为，f = (p + q + r).(p + q + r').(p + q' + r).(p' + q + r)。这是输出 f 的规范 PoS 形式。我们也可以用以下两种符号表示该函数。
$$f=M_{0}.M_{1}.M_{2}.M_{4}$$
$$f=\prod M\left ( 0,1,2,4 ight )$$
在一个方程中，我们将函数表示为各个最大项的乘积。在其他方程中，我们使用符号来表示这些最大项的乘积。
布尔函数 f = (p + q + r).(p + q + r').(p + q' + r).(p' + q + r) 是布尔函数 f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr 的对偶。
因此，规范 SoP 和规范 PoS 形式都是彼此对偶的。从功能上讲，这两种形式是相同的。根据需求，我们可以采用这两种形式中的一种。
标准 SoP 和 PoS 形式
我们讨论了表示布尔输出的两种规范形式。同样，也有两种表示布尔输出的标准形式。这些是规范形式的简化版本。
- 标准 SoP 形式
- 标准 PoS 形式
我们将在后面的章节中讨论逻辑门。标准形式的主要优点是可以最小化应用于逻辑门的输入数量。有时，所需的逻辑门总数会减少。
标准 SoP 形式
标准 SoP 形式表示标准乘积和形式。在这种形式中，每个乘积项不必包含所有文字。因此，乘积项可能是也可能不是最小项。因此，标准 SoP 形式是规范 SoP 形式的简化形式。
我们将分两步获得输出变量的标准 SoP 形式。
- 获取输出变量的规范 SoP 形式
- 简化上述规范 SoP 形式的布尔函数。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量执行相同的程序。有时，可能无法简化规范 SoP 形式。在这种情况下，规范和标准 SoP 形式相同。
示例
将以下布尔函数转换为标准 SoP 形式。
f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr
给定的布尔函数是规范 SoP 形式。现在，我们必须简化这个布尔函数以获得标准的 SoP 形式。
步骤 1 − 使用布尔公理，x + x = x。这意味着，对任何布尔变量进行'n'次逻辑或运算将等于同一个变量。因此，我们可以再写两次最后一个项 pqr。
⇒ f = p'qr + pq'r + pqr' + pqr + pqr + pqr
步骤 2 −对第一和第四项、第二和第五项、第三和第六项使用分配律。
⇒ f = qr(p' + p) + pr(q' + q) + pq(r' + r)
步骤 3 − 使用布尔公理，x + x' = 1 简化每个括号中的项。
⇒ f = qr(1) + pr(1) + pq(1)
步骤 4 −使用布尔公设，x.1 = x 来简化上述三个项。
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
这是简化的布尔函数。因此，给定规范 SoP 形式对应的标准 SoP 形式是f = pq + qr + pr
标准 PoS 形式
标准 PoS 形式表示标准和积形式。在这种形式中，每个和项不必包含所有文字。因此，和项可能是也可能不是最大项。因此，标准 PoS 形式是规范 PoS 形式的简化形式。
我们将分两步获得输出变量的标准 PoS 形式。
- 获得输出变量的规范 PoS 形式
- 简化上述规范 PoS 形式的布尔函数。
如果有多个输出变量，也请对其他输出变量执行相同的程序。有时，可能无法简化规范 PoS 形式。在这种情况下，规范和标准 PoS 形式相同。
示例
将以下布尔函数转换为标准 PoS 形式。
f = (p + q + r).(p + q + r').(p + q' + r).(p' + q + r)
给定的布尔函数是规范 PoS 形式。现在，我们必须简化这个布尔函数，以便得到标准的 PoS 形式。
步骤 1 − 使用布尔公理，x.x = x。这意味着，对任何布尔变量进行'n'次逻辑与运算将等于同一个变量。因此，我们可以再写两次第一个项 p+q+r。
⇒ f = (p + q + r).(p + q + r).(p + q + r').(p +q' + r).(p' + q + r)
步骤 2 −使用分配律 x + (y.z) = (x + y).(x + z) 作为第一和第四个括号、第二和第五个括号、第三和第六个括号。
⇒ f = (p + q + rr').(p + r + qq').(q + r + pp')
步骤 3 − 使用布尔公理 x.x'=0 简化每个括号中的项。
⇒ f = (p + q + 0).(p + r + 0).(q + r + 0)
步骤 4 − 使用布尔公理，x + 0 = x 简化每个括号中的项
⇒ f = (p + q).(p + r).(q + r)
⇒ f = (p + q).(q + r).(p + r)
这是简化的布尔函数。因此，与给定的规范 PoS 形式相对应的标准 PoS 形式是f = (p + q).(q + r).(p + r)。这是布尔函数 f = pq + qr + pr 的对偶。
因此，标准 SoP 和标准 PoS 形式都是互为对偶的。
