Z-Transform(Z变换)属性

Z-Transform(Z变换)具有以下属性：

线性属性

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

则线性属性表明

$a\, x (n) + b\, y (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} a\, X(Z) + b\, Y(Z)$

时间平移属性

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

则时间平移性质表明

$x (n-m) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} z^{-m} X(Z)$

乘以指数序列性质

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

乘以指数序列性质表明

$a^n\, . x(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z/a)$

时间反转性质

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

则时间反转性质表明

$x (-n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(1/Z)$

Z 域中的微分或乘以 n 性质

如果 $\, x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

则乘以 n 或在 z 域中的微分性质表明

$ n^k x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} [-1]^k z^k{d^k X(Z) \over dZ^K} $

卷积属性

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

则卷积属性表明

$x(n) * y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z)$

相关性属性

如果 $\,x (n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z)$

且 $\,y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} Y(Z)$

则相关属性表明

$x(n) \otimes y(n) \stackrel{\mathrm{Z.T}}{\longleftrightarrow} X(Z).Y(Z^{-1})$

初值和终值定理

针对因果信号定义了 z 变换的初值和终值定理。

初值定理

对于因果信号 x(n)，初值定理指出

$ x (0) = \lim_{z o \infty }⁡X(z) $

这用于在不进行逆 z 变换的情况下找到信号的初始值

最终值定理

对于因果信号 x(n)，最终值定理指出

$ x ( \infty ) = \lim_{z o 1} [z-1] ⁡X(z) $

这用于在不进行逆 z 变换的情况下找到信号的最终值。

Z 变换的收敛区域 (ROC)

z 变换收敛的 z 的变化范围称为收敛区域z 变换。

Z 变换的 ROC 属性

• z 变换的 ROC 用 z 平面中的圆圈表示。

• ROC 不包含任何极点。

• 如果 x(n) 是有限持续时间因果序列或右侧序列，则 ROC 是除 z = 0 之外的整个 z 平面。

• 如果 x(n) 是有限持续时间反因果序列或左侧序列，则 ROC 是除 z = ∞ 之外的整个 z 平面。

• 如果 x(n) 是无限持续时间因果序列，则 ROC 在半径为 a 的圆的外部。即 |z| > a。

• 如果 x(n) 是无限持续时间反因果序列，则 ROC 在半径为 a 的圆的内部。即 |z| < a.

• 如果 x(n) 是有限持续时间的双面序列，则 ROC 是整个 z 平面，除了 z = 0 和 z = ∞。

ROC 的概念可以通过以下示例解释：

示例 1： 查找 $a^n u[n] + a^{-}nu[-n-1]$ 的 z 变换和 ROC

$Z.T[a^n u[n]] + Z.T[a^{-n}u[-n-1]] = {Z \over Z-a} + {Z \over Z {-1 \over a}}$

$$ ROC：|z| \gt a \quad\quad ROC：|z| \lt {1 \over a} $$

ROC 图有两个条件，即 a > 1 和 a < 1，因为您不知道 a。

在这种情况下，没有组合 ROC。

这里，ROC 的组合来自 $a \lt |z| \lt {1 \over a}$

因此，对于这个问题，当 a < 时，z 变换是可能的1.

因果关系和稳定性

离散时间 LTI 系统的因果关系条件如下：

离散时间 LTI 系统在以下情况下是因果的

• ROC 位于最外层极点之外。

• 在传递函数 H[Z] 中，分子的阶不能大于分母的阶。

离散时间 LTI 系统的稳定性条件

离散时间 LTI 系统在以下情况下是稳定的

• 其系统函数 H[Z] 包括单位圆 |z|=1。

• 传递函数的所有极点均位于单位圆 |z|=1 内。

基本信号的 Z 变换