傅里叶变换属性

以下是傅里叶变换的属性：

线性属性

$ ext{If}\,\,x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ ext{&} \,\, y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

则线性属性表明

$a x (t) + b y (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} a X(\omega) + b Y(\omega) $

时间移位属性

$ ext{If}\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X (\omega)$

则时间偏移属性表明

$x (t-t_0) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} e^{-j\omega t_0 } X(\omega)$

频率偏移属性

$ ext{If}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

则频率偏移属性表明

$e^{j\omega_0 t} . x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega - \omega_0)$

时间反转属性

$ ext{If}\,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

则时间反转属性表明

$ x (-t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(-\omega)$

时间缩放属性

$ ext{If}\,\, x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

则时间缩放属性表明

$ x (at) {1 \over |\,a\,|} X { \omega \over a}$

微分和积分性质

$ 如果 \,\, x (t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)$

则微分性质表明

$ {dx (t) \over dt} \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} j\omega . X(\omega)$

$ {d^n x (t) \over dt^n } \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} (j \omega)^n . X(\omega) $

积分性质表明

$ \int x(t) \, dt \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over j \omega} X(\omega) $

$ \iiint ... \int x(t)\, dt \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} { 1 \over (j\omega)^n} X(\omega) $

乘法和卷积性质

$ ext{If} \,\, x(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega) $

$ ext{&} \,\,y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} Y(\omega) $

然后乘法性质表明

$ x(t). y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} X(\omega)*Y(\omega) $

并且卷积性质表明

$ x(t) * y(t) \stackrel{\mathrm{F.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over 2 \pi} X(\omega).Y(\omega) $