信号采样定理

陈述：连续时间信号可以用其样本表示，当采样频率 f_s 大于或等于消息信号最高频率分量的两倍时，可以恢复。即

$$ f_s \geq 2 f_m. $$

证明：考虑连续时间信号 x(t)。x(t) 的频谱是限制为 f_m Hz 的频带，即 x(t) 的频谱在 |ω|>ω_m 时为零。

输入信号 x(t) 的采样可以通过将 x(t) 与周期为 T_s 的脉冲序列 δ(t) 相乘来获得。乘法器的输出是一个离散信号，称为采样信号，在下图中用 y(t) 表示：

在这里，您可以观察到采样信号采用脉冲周期。采样过程可以通过以下数学表达式来解释：

$ ext{采样信号}\, y(t) = x(t) 。 \delta(t) \,\,...\,...(1) $

$\delta$(t) 的三角傅里叶级数表示如下

$ \delta(t)= a_0 + \Sigma_{n=1}^{\infty}(a_n \cos⁡ n\omega_s t + b_n \sin⁡ n\omega_s t )\,\,...\,...(2) $

其中 $ a_0 = {1\over T_s} \int_{-T \over 2}^{ T \over 2} \delta (t)dt = {1\over T_s} \delta(0) = {1\over T_s} $

$ a_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta (t) \cos n\omega_s\, dt = { 2 \over T_2} \delta (0) \cos n \omega_s 0 = {2 \over T}$

$b_n = {2 \over T_s} \int_{-T \over 2}^{T \over 2} \delta(t) \sin⁡ n\omega_s t\, dt = {2 \over T_s} \delta(0) \sin⁡ n\omega_s 0 = 0 $

将上述值代入公式 2。

$ 因此\, \delta(t)= {1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty} ( { 2 \over T_s} \cos ⁡ n\omega_s t+0)$

将 δ(t) 代入方程 1。

$ o y(t) = x(t) . \delta(t) $

$ = x(t) [{1 \over T_s} + \Sigma_{n=1}^{\infty}({2 \over T_s} \cos n\omega_s t) ] $

$ = {1 \over T_s} [x(t) + 2 \Sigma_{n=1}^{\infty} (\cos n\omega_s t) x(t) ] $

$ y(t) = {1 \over T_s} [x(t) + 2\cos \omega_s t.x(t) + 2 \cos 2\omega_st.x(t) + 2 \cos 3\omega_s t.x(t) \,...\, ...\,] $

对两边进行傅里叶变换。

$Y(\omega) = {1 \over T_s} [X(\omega)+X(\omega-\omega_s )+X(\omega+\omega_s )+X(\omega-2\omega_s )+X(\omega+2\omega_s )+ \,...] $

$因此\,\, Y(\omega) = {1\over T_s} \Sigma_{n=-\infty}^{\infty} X(\omega - n\omega_s )\quad\quad 其中 \,\,n= 0,\pm1,\pm2,... $

要重建 x(t)，您必须恢复输入信号频谱 X(ω) 来自采样信号频谱 Y(ω)，当 Y(ω) 的周期之间没有重叠时，这是可能的。

下图给出了不同条件下采样频谱的可能性：

混叠效应

在采样不足的情况下，重叠区域代表混叠效应，可以通过以下方法消除