傅里叶级数属性

这些是傅里叶级数的属性：

线性属性

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$ & $ y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{yn}$

则线性属性表明

$ ext{a}\, x(t) + ext{b}\, y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} ext{a}\, f_{xn} + ext{b}\, f_{yn}$

时间移位属性

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

则时间移位属性表明

$x(t-t_0) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} e^{-jn\omega_0 t_0}f_{xn} $

频率移位属性

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

则频率移位属性表明

$e^{jn\omega_0 t_0}。 x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{x(n-n_0)} $

时间反转属性

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

则时间反转属性表明

如果 $ x(-t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{-xn}$

时间缩放属性

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

则时间缩放属性表明

如果 $ x(at) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

时间缩放属性将频率分量从 $\omega_0$ 更改为 $a\omega_0$。

微分和积分性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

则微分性质表明

如果 $ {dx(t)\over dt} \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} jn\omega_0 。 f_{xn}$

& 积分性质表明

如果 $ \int x(t) dt \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} {f_{xn} \over jn\omega_0} $

乘法和卷积性质

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$ & $ y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{yn}$

则乘法性质表明

$ x(t) . y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} T f_{xn} * f_{yn}$

& 卷积性质表明

$ x(t) * y(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} T f_{xn} 。 f_{yn}$

共轭和共轭对称性

如果 $ x(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f_{xn}$

则共轭性表明

$ x*(t) \xleftarrow[\,]{fourier\,series}\xrightarrow[\,]{coefficient} f*_{xn}$

实值时间信号的共轭对称性表明

$$f*_{xn} = f_{-xn}$$

& 虚值时间信号的共轭对称性表明

$$f*_{xn} = -f_{-xn} $$