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信号分析

向量与信号之间的类比

向量与信号之间存在完美的类比。

向量

向量包含幅度和方向。向量的名称用粗体字表示，其幅度用细体字表示。

示例：V 是一个幅度为 V 的向量。考虑两个向量 V₁ 和 V₂，如下图所示。让 V₁ 和 V₂ 的分量由 C₁₂V₂ 给出。向量 V₁ 的分量以及向量 V₂ 可以通过从 V₁ 的末端到向量 V₂ 取垂线来获得，如图所示：

向量 V₁ 可以用向量 V₂ 来表示>

V₁= C₁₂V₂ + V_e

其中 Ve 是误差向量。

但这并不是用 V₂ 来表示向量 V₁ 的唯一方法。其他可能性如下：

对于较大的元件值，误差信号最小。如果 C₁₂=0，则两个信号被称为正交。

两个向量的点积

V₁ . V₂ = V₁.V₂ cosθ

θ = V1 和 V2 之间的角度

V₁ . V₂ =V₂.V₁

V₁ 的分量 alog_n V₂ = V₁ Cosθ = $V1.V2 \over V2$

从图中可以看出，V₁ 的分量 alog_n V₂ = C ₁₂ V₂

$$V_1.V_2 \over V_2 = C_12\,V_2$$

$$ \Rightarrow C_{12} = {V_1.V_2 \over V_2}$$

信号

正交性的概念可以应用于信号。我们考虑两个信号 f₁(t) 和 f₂(t)。与向量类似，您可以用 f₂(t) 来近似 f₁(t)，如下所示

f₁(t) = C₁₂ f₂(t) + f_e(t) for (t₁ < t < t₂)

$ \Rightarrow $ f_e(t) = f₁(t) – C₁₂ f₂(t)

最小化误差的一种可能方法是在 t₁ 到 t₂ 的区间内进行积分。

$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)] dt$$

$${1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_1(t) - C_{12}f_2(t)]dt $$

然而，这一步也不能将误差减少到可观的程度。这可以通过取误差函数的平方来纠正。

$\varepsilon = {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2 dt$

$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - C_{12}f_2]^2 dt $

其中 ε 是误差信号的均方值。最小化误差的 C₁₂ 值，您需要计算 ${d\varepsilon \over dC_{12} } = 0 $

$\Rightarrow {d \over dC_{12} } [ {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_1 (t) - C_{12} f_2 (t)]^2 dt]= 0 $

$\Rightarrow {1 \over {t_2 - t_1}} \int_{t_1}^{t_2} [ {d \over dC_{12} } f_{1}^2(t) - {d \over dC_{12} } 2f_1(t)C_{12}f_2(t)+ {d \over dC_{12} } f_{2}^{2} (t) C_{12}^2 ] dt =0 $

没有 C12 项的项的导数为零。

$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} - 2f_1(t) f_2(t) dt + 2C_{12}\int_{t_1}^{t_2}[f_{2}^{2} (t)]dt = 0 $

如果 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $ 分量为零，则两个信号被称为正交的。

将 C₁₂ = 0 以获得正交性条件。

0 = $ {{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt } \over {\int_{t_1}^{t_2} f_{2}^{2} (t)dt }} $

$$ \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t)f_2(t) dt = 0 $$

正交向量空间

一组完整的正交向量称为正交向量空间。考虑一个三维向量空间，如下所示：

考虑在一点 (X₁, Y₁, Z₁) 处的向量 A。考虑分别在 X、Y、Z 轴方向上的三个单位向量 (V_X, V_Y, V_Z)。由于这些单位向量相互正交，因此满足

$$V_X. V_X= V_Y. V_Y= V_Z. V_Z = 1 $$

$$V_X. V_Y= V_Y. V_Z= V_Z. V_X = 0 $$

您可以将上述条件写为

$$V_a . V_b = \left\{ \begin{array}{l l} 1 & \quad a = b \ 0 & \quad a eq b \end{array} ight. $$

向量 A 可以用其分量和单位向量表示为

$A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z................(1) $

此三维空间中的任何向量都只能用这三个单位向量表示。

如果考虑 n 维空间，则该空间中的任何向量 A 都可以表示为

$ A = X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z+...+ N_1V_N.....(2) $

由于单位向量的大小对于任何向量 A 都是 1

A 沿 x 轴的分量 = A.V_X

A 沿 Y 轴的分量 = A.V_Y

A 沿 Z 轴的分量 = A.V_Z

类似地，对于 n 维空间，A 沿某个 G 轴的分量

$= A.VG...............(3)$

将方程 2 代入方程 3。

$\Rightarrow CG= (X_1 V_X + Y_1 V_Y + Z_1 V_Z +...+G_1 V_G...+ N_1V_N)V_G$

$= X_1 V_X V_G + Y_1 V_Y V_G + Z_1 V_Z V_G +...+ G_1V_G V_G...+ N_1V_N V_G$

$= G_1 \,\,\,\,\, ext{since } V_G V_G=1$

$如果 V_G V_G eq 1 \,\, ext{即} V_G V_G= k$

$AV_G = G_1V_G V_G= G_1K$

$G_1 = {(AV_G) \over K}$

正交信号空间

我们考虑一组 n 个相互正交的函数 x₁(t), x₂(t)... x_n(t)，它们在 t₁ 到 t₂ 区间内。由于这些函数彼此正交，因此任何两个信号 x_j(t), x_k(t) 都必须满足正交性条件。即

$$\int_{t_1}^{t_2} x_j(t)x_k(t)dt = 0 \,\,\, ext{其中}\, j eq k$$

$$ ext{Let} \int_{t_1}^{t_2}x_{k}^{2}(t)dt = k_k $$

设函数 f(t)，可以通过沿相互正交的信号添加分量来用这个正交信号空间近似，即

$\,\,\,f(t) = C_1x_1(t) + C_2x_2(t) + ... + C_nx_n(t) + f_e(t) $

$\quad\quad=\Sigma_{r=1}^{n} C_rx_r (t) $

$\,\,\,f(t) = f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r (t) $

均方误差 $ \varepsilon = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f_e(t)]^2 dt$

$$ = {1 \over t_2 - t_2 } \int_{t_1}^{t_2} [ f[t] - \sum_{r=1}^{n} C_rx_r(t) ]^2 dt $$

可以通过以下方式找到最小化均方误差的分量

$$ {d\varepsilon \over dC_1} = {d\varepsilon \over dC_2} = ... = {d\varepsilon \over dC_k} = 0 $$

让我们考虑${d\varepsilon \over dC_k} = 0 $

$${d \over dC_k}[ {1 \over t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} [ f(t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt] = 0 $$

所有不包含 C_k 的项都为零。即在求和时，r=k 项保持不变，其他所有项均为零。

$$\int_{t_1}^{t_2} - 2 f(t)x_k(t)dt + 2C_k \int_{t_1}^{t_2} [x_k^2 (t)] dt=0 $$

$$\Rightarrow C_k = {{\int_{t_1}^{t_2}f(t)x_k(t)dt} \over {int_{t_1}^{t_2} x_k^2 (t)dt}} $$

$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = C_kK_k $$

均方误差

误差函数 f_e(t) 的平方的平均值称为均方误差。它用 ε (epsilon) 表示。

。

$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t)]^2dt$

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } \int_{t_1}^{t_2} [f_e (t) - \Sigma_{r=1}^n C_rx_r(t)]^2 dt $

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f_e^2 (t) ]dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t) dt - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(t)dt$

您知道 $C_{r}^{2} \int_{t_1}^{t_2} x_r^2 (t)dt = C_r \int_{t_1}^{t_2} x_r (t)f(d)dt = C_r^2 K_r $

$\varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [ \int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r - 2 \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r] $

$\,\,\,\,= {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt - \Sigma_{r=1}^{n} C_r^2 K_r ] $

$\, 因此 \varepsilon = {1 \over t_2 - t_1 } [\int_{t_1}^{t_2} [f^2 (t)] dt + (C_1^2 K_1 + C_2^2 K_2 + ... + C_n^2 K_n)] $

上述方程用于评估均方误差。

正交函数的封闭和完整集

我们考虑一组 n 个相互正交的函数 x₁(t), x₂(t)...x_n(t)，范围为 t₁ 到 t₂。当不存在满足条件 $\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt = 0 $ 的函数 f(t) 时，该函数集被称为封闭且完整的函数集

如果此函数满足方程 $\int_{t_1}^{t_2} f(t)x_k(t)dt=0 \,\, ext{for}\, k = 1,2,..$，则称 f(t) 与正交集的每个函数正交。如果没有 f(t)，该函数集是不完整的。当包含 f(t) 时，它变为封闭的和完整的集合。

可以通过沿相互正交的信号添加分量来用这个正交集近似 f(t)，即

$$f(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t) + f_e(t) $$

如果无穷级数 $C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) + ... + C_n x_n(t)$ 收敛到 f(t)，则均方误差为零。

复函数中的正交性

如果 f₁(t) 和 f₂(t) 是两个复函数，则 f₁(t) 可以用f₂(t) 为

$f_1(t) = C_{12}f_2(t) \,\,\,\,\,\,\,\,$ ..误差可忽略不计

其中 $C_{12} = {{\int_{t_1}^{t_2} f_1(t)f_2^*(t)dt} \over { \int_{t_1}^{t_2} |f_2(t)|^2 dt}} $

其中 $f_2^* (t)$ = f₂(t) 的复共轭。

如果 f₁(t) 和 f₂(t) 正交，则 C₁₂ = 0

$$ {\int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^*(t) dt \over \int_{t_1}^{t_2} |f_2 (t) |^2 dt} = 0 $$

$$\Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f_1 (t) f_2^* (dt) = 0$$

上述方程表示复函数中的正交性条件。

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