拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换的性质如下：

线性性质

若 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

& $\, y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} Y(s)$

则线性特性表明

$a x (t) + b y (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} a X(s) + b Y(s)$

时间移位特性

如果 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则时间移位特性表明

$x (t-t_0) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} e^{-st_0 } X(s)$

频率移位属性

如果 $\, x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则频移属性表明

$e^{s_0 t} . x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s-s_0)$

时间反转性质

如果 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则时间反转性质表明

$x (-t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(-s)$

时间缩放性质

如果 $\,x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则时间缩放性质表明

$x (at) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1\over |a|} X({s\over a})$

微分和积分性质

如果 $\, x (t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

则微分性质表明

$ {dx (t) \over dt} \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} s. X(s) - s. X(0) $

${d^n x (t) \over dt^n} \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} (s)^n . X(s)$

积分性质表明

$\int x (t) dt \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over s} X(s)$

$\iiint \,...\, \int x (t) dt \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over s^n} X(s)$

乘法和卷积性质

如果 $\,x(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s)$

且 $ y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} Y(s)$

然后乘法性质表明

$x(t). y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} {1 \over 2 \pi j} X(s)*Y(s)$

卷积性质表明

$x(t) * y(t) \stackrel{\mathrm{L.T}}{\longleftrightarrow} X(s).Y(s)$