希尔伯特变换

信号 x(t) 的希尔伯特变换定义为信号所有分量的相位角偏移 $\pm ext{90}^o $ 的变换。

x(t) 的希尔伯特变换用 $\hat{x}(t)$ 表示，其表达式为

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

逆希尔伯特变换的表达式为

$$ \hat{x}(t) = { 1 \over \pi } \int_{-\infty}^{\infty} {x(k) \over t-k } dk $$

x(t)，$\hat{x}$(t) 称为希尔伯特变换对。

希尔伯特变换的性质

信号 x(t) 及其希尔伯特变换 $\hat{x}$(t) 具有

• 相同的幅度谱。

• 相同的自相关函数。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 的能量谱密度相同。

• x(t) 和 $\hat{x}$(t) 是正交的。

• $\hat{x}$(t) 的希尔伯特变换是 -x(t)

• 如果存在傅里叶变换，那么希尔伯特变换对于能量和功率信号也存在。