拉普拉斯变换 (LT)

复数傅里叶变换也称为双边拉普拉斯变换。这用于求解微分方程。考虑一个由 x(t) = Ge^st 形式的复指数信号激励的 LTI 系统。

其中 s = 任何复数 = $\sigma + j\omega$，

σ = s 的实数，并且

ω = s 的虚数

LTI 的响应可以通过输入与其脉冲响应的卷积获得，即

$ y(t) = x(t) imes h(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\, h ( au)\, x (t- au)d au $

$= \int_{-\infty}^{\infty}\, h ( au)\, Ge^{s(t- au)}d au $

$= Ge^{st}. \int_{-\infty}^{\infty}\, h ( au)\, e^{(-s au)}d au $

$ y(t) = Ge^{st}.H(S) = x(t).H(S)$

其中 H(S) = $h( au) = \int_{-\infty}^{\infty} h ( au) e^{-s au} d au $ 的拉普拉斯变换

类似地，$x(t) = X(S) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt\,...\,...(1)$ 的拉普拉斯变换

拉普拉斯变换与傅立叶变换之间的关系

$x(t) = X(S) 的拉普拉斯变换=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$

代入 s= σ + jω在上面的等式中。

$→ X(\sigma+j\omega) =\int_{-\infty}^{\infty}\,x (t) e^{-(\sigma+j\omega)t} dt$

$ = \int_{-\infty}^{\infty} [ x (t) e^{-\sigma t}] e^{-j\omega t} dt $

$因此 X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]\,...\,...(2)$

$X(S) = X(\omega) \quad\quad for\,\, s= j\omega$

逆拉普拉斯变换

您知道 $X(S) = F.T [x (t) e^{-\sigma t}]$

$ o x (t) e^{-\sigma t} = F.T^{-1} [X(S)] = F.T^{-1} [X(\sigma+j\omega)]$

$= {1\over 2}\pi \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega$

$ x (t) = e^{\sigma t} {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{j\omega t} d\omega $

$= {1 \over 2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\sigma+j\omega) e^{(\sigma+j\omega)t} d\omega \,...\,...(3)$

这里，$\sigma+j\omega = s$

$jdω = ds → dω = ds/j$

$因此 x (t) = {1 \over 2\pi j} \int_{-\infty}^{\infty} X(s) e^{st} ds\,...\,...(4) $

等式 1 和 4 表示信号 x(t) 的拉普拉斯变换和逆拉普拉斯变换。

拉普拉斯变换存在的条件

狄利克雷条件用于定义拉普拉斯变换的存在。即

• 函数 f(t) 具有有限数量的最大值和最小值。

• 在给定的时间间隔内，信号 f(t) 中必须有有限数量的不连续性。

• 它必须在给定的时间间隔内绝对可积。即

  $ \int_{-\infty}^{\infty} |\,f(t)|\, dt \lt \infty $

初值和终值定理

如果已知未知函数 x(t) 的拉普拉斯变换，则可以确定该未知信号即 x(t) 在 t=0⁺ 和 t=∞ 时的初值和终值。

初值定理

陈述：如果 x(t) 及其一阶导数是拉普拉斯可变换的，则 x(t) 的初值由

$$ x(0^+) = \lim_{s o \infty} 给出⁡SX(S) $$

终值定理

陈述：如果 x(t) 及其一阶导数是拉普拉斯可变换的，则 x(t) 的终值由

$$ x(\infty) = \lim_{s o \infty} ⁡SX(S) $$