---

DSP - Z 变换存在性

具有系统函数的系统只有在所有极点都位于单位圆内时才是稳定的。首先，我们检查系统是否具有因果关系。如果系统具有因果关系，则我们进行 BIBO 稳定性确定；其中 BIBO 稳定性是指有界输入和有界输出条件。

这可以写成；

$Mod(X(Z))< \infty$

$= Mod(\sum x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod(x(n)Z^{-n})< \infty$

$= \sum Mod[x(n)(re^{jw})^{-n}]< 0$

$= \sum Mod[x(n)r^{-n}]Mod[e^{-jwn}]< \infty$

$= \sum_{n = -\infty}^\infty Mod[x(n)r^{-n}]< \infty$

上述等式显示了 Z 变换的存在条件。

但是，DTFT 信号存在的条件是

$$\sum_{n = -\infty}^\infty Mod(x(n)< \infty$$

示例 1

让我们尝试找出信号的 Z 变换，其形式为

$x(n) = -(-0.5)^{-n}u(-n)+3^nu(n)$

$= -(-2)^nu(n)+3^nu(n)$

解决方案 − 这里，对于 $-(-2)^nu(n)$，ROC 位于左侧， Z<2

对于 $3^nu(n)$，ROC 位于右侧，而 Z>3

因此，由于没有共同区域，因此这里不存在信号的 Z 变换。

示例 2

让我们尝试找出信号的 Z 变换，如下所示

$x(n) = -2^nu(-n-1)+(0.5)^nu(n)$

解决方案 − 这里，对于 $-2^nu(-n-1)$，信号的 ROC 位于左侧，而 Z<2

对于信号 $(0.5)^nu(n)$，ROC 位于右侧，而 Z>0.5

因此，共同的 ROC 形成为0.5<Z<2

因此，Z 变换可以写成；

$X(Z) = \lbrace\frac{1}{1-2Z^{-1}} brace+\lbrace\frac{1}{(1-0.5Z)^{-1}} brace$

示例 3

让我们尝试找出信号的 Z 变换，其形式为 $x(n) = 2^{r(n)}$

解决方案 − r(n) 是斜坡信号。因此信号可以写成；

$x(n) = 2^{nu(n)}\lbrace 1, n<0 (u(n)=0)\quad and\quad2^n, n\geq 0(u(n) = 1) brace$

$= u(-n-1)+2^nu(n)$

这里，对于信号 $u(-n-1)$ 和 ROC Z<1，对于 $2^nu(n)$ 和 ROC 为 Z>2。

因此，信号的 Z 变换不存在。

因果系统的 Z 变换

因果系统可以定义为 $h(n) = 0,n<0$。对于因果系统，ROC 将在 Z 平面的圆外。

$H(Z) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty}h(n)Z^{-n}$

展开上述等式，

$H(Z) = h(0)+h(1)Z^{-1}+h(2)Z^{-2}+...\quad...\quad...$

$= N(Z)/D(Z)$

对于因果系统，传递函数的展开不包括 Z 的正幂。对于因果系统，分子的阶不能超过分母的阶。这可以写成-

$\lim_{z ightarrow \infty}H(Z) = h(0) = 0\quad or\quad Finite$

为了因果系统的稳定性，传递函数的极点应该位于 Z 平面的单位圆内。

反因果系统的 Z 变换

反因果系统可以定义为 $h(n) = 0, n\geq 0$ 。对于反因果系统，传递函数的极点应该位于 Z 平面的单位圆之外。对于反因果系统，ROC 将位于 Z 平面的圆内。

---