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DSP - 信号卷积运算

信号的卷积运算是一种数学运算，用于将两个函数组合成一个新的函数，反映了其中一个函数与另一个函数翻转并移位的形式之间的相互关系。这种运算在信号处理、图像处理和深度学习中扮演着核心角色。卷积运算的基本形式是一个积分，表示两个函数的乘积在某个变量上的积分。在通信技术和信号处理领域，卷积运算的具体应用包括但不限于：

图像处理：卷积运算在图像处理中用于滤波和特征提取。通过定义一个特定的模板（也称为滤波器），在图像上滑动并应用卷积运算，可以实现图像的平滑、锐化、边缘检测等效果。

信号处理：在信号处理中，卷积运算用于分析线性时不变系统的输入和输出关系。当输入信号为脉冲函数时，系统的输出信号称为脉冲响应。卷积运算描述了输入信号、脉冲响应和输出信号三者之间的关系。

深度学习：卷积神经网络（CNN）中的卷积层利用卷积运算提取输入数据的局部特征。通过滑动滤波器并在每个位置应用卷积运算，CNN能够学习到输入数据中的有用特征，进而进行分类或识别任务。

时域中两个信号的卷积相当于频域中两个信号的表示相乘。从数学上讲，我们可以将两个信号的卷积写为

$$y(t) = x_{1}(t)*x_{2}(t)$$ $$= \int_{-\infty}^{\infty}x_{1}(p).x_{2}(t-p)dp$$

卷积步骤

• 取信号 x₁(t)，并将 t = p 放在那里，这样它就是 x₁(p)。
• 取信号 x₂(t)，执行步骤 1，使其成为 x₂(p)。
• 对信号进行折叠，即 x₂(-p)。
• 对上述信号进行时间移位x₂[-(p-t)]
• 然后将两个信号相乘。即 $x_{1}(p).x_{2}[−(p−t)]$

示例

让我们将阶跃信号 u(t) 与其同类进行卷积。

$y(t) = u(t)*u(t)$

$= \int_{-\infty}^{\infty}[u(p).u[-(p-t)]dp$

现在这个 t 可以大于或小于零，如下图所示

因此，在上述情况下，结果可能出现以下情况

$y(t) = \begin{cases}0, & if\quad t<0\\int_{0}^{t}1dt, & for\quad t>0\end{cases}$

$= \begin{cases}0, & if\quad t<0\t, & t>0\end{cases} = r(t)$

卷积的性质

交换律

它表明卷积的顺序无关紧要，可以用数学形式表示为

$$x_{1}(t)*x_{2}(t) = x_{2}(t)*x_{1}(t)$$

结合律

它表明涉及三个信号的卷积顺序可以是任意的。从数学上来说，它可以表示为；

$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)*x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)]*x_{3}(t)$$

分配

可以先将两个信号相加，然后将它们与第三个信号进行卷积。这相当于将两个信号分别与第三个信号进行卷积，最后再相加。从数学上来说，这可以写成；

$$x_{1}(t)*[x_{2}(t)+x_{3}(t)] = [x_{1}(t)*x_{2}(t)+x_{1}(t)*x_{3}(t)]$$

面积

如果一个信号是两个信号卷积的结果，那么该信号的面积就是这两个单独信号的乘积。从数学上来说，这可以写成

如果 $y(t) = x_{1}*x_{2}(t)$

那么，y(t) 的面积 = x₁(t) 的面积 X x₂(t) 的面积

缩放

如果将两个信号缩放为某个未知常数"a"并进行卷积，则结果信号也将卷积为相同的常数"a"，并将除以该数量，如下所示。

如果，$x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$

则，$x_{1}(at)*x_{2}(at) = \frac{y(at)}{a}, a e 0$

延迟

假设信号 y(t) 是两个信号 x1(t) 和 x2(t) 卷积的结果。如果两个信号分别延迟时间 t1 和 t2，则结果信号 y(t) 将延迟 (t1+t2)。从数学上来说，它可以写成 −

如果，$x_{1}(t)*x_{2}(t) = y(t)$

则，$x_{1}(t-t_{1})*x_{2}(t-t_{2}) = y[t-(t_{1}+t_{2})]$

已解决的示例

示例 1 − 求信号 u(t-1) 和 u(t-2) 的卷积。

解决方案 − 给定信号为 u(t-1) 和 u(t-2)。它们的卷积可以按如下所示进行 −

$y(t) = u(t-1)*u(t-2)$

$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}[u(t-1).u(t-2)]dt$

$= r(t-1)+r(t-2)$

$= r(t-3)$

示例 2 −找到两个信号的卷积，如下所示

$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2 brace $

$x_{2}(n) = \begin{cases}2, & 0\leq n\leq 4\0, & x > 其他地方\end{cases}$

解决方案 −

x₂(n) 可以解码为 $x_{2}(n) = \lbrace 2,2,2,2,2 brace Originalfirst$

x₁(n) 先前给定 $= \lbrace 3,-2,3 brace = 3-2Z^{-1}+2Z^{-2}$

类似地，$x_{2}(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4}$

结果信号，

$X(Z) = X_{1}(Z)X_{2}(z)$

$= \lbrace 3-2Z^{-1}+2Z^{-2} brace imes \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-2}+2Z^{-3}+2Z^{-4} brace$

$= 6+2Z^{-1}+6Z^{-2}+6Z^{-3}+6Z^{-4}+6Z^{-5}$

对上述内容进行逆 Z 变换，我们将得到结果信号为

$x(n) = \lbrace 6,2,6,6,6,0,4 括号$ 原点在第一个

示例 3 −确定以下 2 个信号的卷积 −

$x(n) = \lbrace 2,1,0,1 brace$

$h(n) = \lbrace 1,2,3,1 brace$

解决方案 −

对信号进行 Z 变换，我们得到，

$x(z) = 2+2Z^{-1}+2Z^{-3}$

并且 $h(n) = 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3}$

现在两个信号的卷积信号表示它们的 Z 变换相乘

即 $Y(Z) = X(Z) imes h(Z)$

$= \lbrace 2+2Z^{-1}+2Z^{-3} brace imes \lbrace 1+2Z^{-1}+3Z^{-2}+Z^{-3} brace$

$= \lbrace 2+5Z^{-1}+8Z^{-2}+6Z^{-3}+3Z^{-4}+3Z^{-5}+Z^{-6} brace$

取逆 Z 变换，所得信号可写为；

$y(n) = \lbrace 2,5,8,6,6,1 brace Originalfirst$

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