DSP - 时不变系统

时不变系统，也称为定常系统，是指系统的自身性质不随时间而变化的系统。这种系统的特点是，无论输入信号作用的时间先后如何，输出信号响应的形状都相同，仅是从出现的时间不同。时不变系统的数学表示为T[x(n)]=y[n]，则T[x(n-n0)]=y[n-n0]，说明序列x(n)先移位后进行变换与它先进行变换后再移位是等效的。时不变系统包括连续时间系统与离散时间系统，且可以是线性的或非线性的。在线性时不变系统中，既满足叠加原理又具有时不变特性，可以用单位脉冲响应来表示。单位脉冲响应是输入端为单位脉冲序列时的系统输出，一般表示为h(n)，即h(n)=T[δ(n)]。任一输入序列x(n)的响应y(n)=T[x(n)]=T[δ(n-k)]，由于系统是线性的，所以上式可以写成y(n)=T[δ(n-k)]；又由于系统是时不变的，即有T[δ(n-k)]=h(n-k)，从而得y(n)=h(n-k)=x(n)h(n)，这个公式称为线性卷积，用""表示。

对于时不变系统，输出和输入应延迟某个时间单位。对于时不变系统，输入中提供的任何延迟都必须反映在输出中。

示例

a) $y(T) = x(2T)$

如果上述表达式首先通过系统，然后通过时间延迟（如图上半部分所示）；则输出将变为 $x(2T-2t)$。现在，相同的表达式首先通过时间延迟，然后通过系统（如图下半部分所示）。输出将变为 $x(2T-t)$。

因此，该系统不是时不变系统。

b) $y(T) = \sin [x(T)]$

如果信号首先通过系统，然后通过时间延迟过程，则输出为 $\sin x(T-t)$。同样，如果系统首先通过时间延迟，然后通过系统，则输出将为 $\sin x(T-t)$。我们可以清楚地看到两个输出是相同的。因此，系统是时不变的。