数字信号处理 - DFT 简介

与连续时间信号傅里叶变换一样，离散时间傅里叶变换可用于将离散序列表示为其等效频域表示和 LTI 离散时间系统，并开发各种计算算法。

连续 F.T 中的 X (jω) 是 x(n) 的连续函数。然而，DFT 处理的是用其频谱 X(ω) 的样本来表示 x(n)。因此，这种数学工具在方便表示方面具有重要的计算意义。周期和非周期序列都可以通过此工具处理。周期序列需要通过将周期延长到无穷大来采样。

频域采样

从介绍中可以清楚地看出，我们需要知道如何进行频域采样，即采样 X(ω)。因此，采样傅里叶变换与 DFT 之间的关系以以下方式建立。

类似地，通过将​​周期 N 延长到无穷大，周期序列可以适合此工具。

让非周期序列为，$X(n) = \lim_{N o \infty}x_N(n)$

定义其傅里叶变换，

$X(\omega ) = \sum_{n=-\infty}^\infty x(n)e^{-jwn}X(K\delta \omega)$...eq(1)

这里，X(ω) 每隔 δω 弧度间隔定期采样。

由于 X(ω) 在 2π 中是周期性的弧度，我们仅要求在基频范围内采样。采样是在频率范围 0≤ω≤2π 内等距间隔后采集的。等价间隔之间的间距为$\delta \omega = \frac{2\pi }{N}k$弧度。

现在计算，$\omega = \frac{2\pi}{N}k$

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \sum_{n = -\infty}^\infty x(n)e^{-j2\pi nk/N},$ ...eq(2)

其中 k=0,1,……N-1

将上述内容细分，并交换求和顺序后

$X(\frac{2\pi}{N}k) = \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N-1}[\displaystyle\sum\limits_{l = -\infty}^\infty x(n-Nl)]e^{-j2\pi nk/N}$ ...eq(3)

$\sum_{l=-\infty}^\infty x(n-Nl) = x_p(n) = 一个周期为 N 的周期函数和它的傅里叶级数 = \sum_{k = 0}^{N-1}C_ke^{j2\pi nk/N}$

其中，n = 0,1,…..,N-1； 'p' 代表周期实体或函数

傅里叶系数为，

$C_k = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N-1}x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$k=0,1,…,N-1...eq(4)

比较方程 3 和方程 4，我们得到；

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k)$ k=0,1,…,N-1...eq(5)

$NC_k = X(\frac{2\pi}{N}k) = X(e^{jw}) = \displaystyle\sum\limits_{n = -\infty}^\infty x_p(n)e^{-j2\pi nk/N}$...eq(6)

根据傅里叶级数展开，

$x_p(n) = \frac{1}{N}\displaystyle\sum\limits_{k = 0}^{N-1}NC_ke^{j2\pi nk/N} = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(\frac{2\pi}{N}k)e^{j2\pi nk/N}$...eq(7)

其中 n=0,1,…,N-1

这里，我们从 X(ω) 获得了周期信号。如果时间域中没有混叠，则只能从 $x_p(n)$ 中提取 $x(n)$。$N\geq L$

N = $x_p(n)$ 的周期 L= $x(n)$ 的周期

$x(n) = \begin{cases}x_p(n), & 0\leq n\leq N-1\0, &否则\end{cases}$

映射以这种方式实现。

DFT 的属性

线性

它表明信号组合的 DFT 等于各个信号的 DFT 之和。让我们取两个信号 x₁(n) 和 x₂(n)，它们的 DFT 分别为 X₁(ω) 和 X₂(ω)。因此，如果

$x_1(n) ightarrow X_1(\omega)$和$x_2(n) ightarrow X_2(\omega)$

然后 $ax_1(n)+bx_2(n) ightarrow aX_1(\omega)+bX_2(\omega)$

其中 a 和 b 为常数。

对称性

DFT 的对称性可以用与推导 DTFT 对称性类似的方式推导。我们知道序列 x(n) 的 DFT 用 X(K) 表示。现在，如果 x(n) 和 X(K) 是复值序列，那么它可以表示如下

$x(n) = x_R(n)+jx_1(n),0\leq n\leq N-1$

并且 $X(K) = X_R(K)+jX_1(K),0\leq K\leq N-1$

对偶性质

让我们考虑一个信号 x(n)，其 DFT 给出为 X(K)。让有限持续时间序列为 X(N)。然后根据对偶定理，

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$X(N)\longleftrightarrow Nx[((-k))_N]$

因此，如果我们知道DFT，利用这个定理，我们可以轻松找到有限持续时间序列。

复共轭性质

假设有一个信号x(n)，它的DFT也称为X(K)。现在，如果信号的复共轭为 x*(n)，那么我们可以使用下面所示的定理轻松找到 DFT，而无需进行大量计算。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$x*(n)\longleftrightarrow X*((K))_N = X*(N-K)$

循环频移

序列 x(n) 与复指数序列 $e^{j2\Pi kn/N}$ 的乘积相当于将 DFT 在频率上循环移位 L 个单位。这是循环时间移位性质的对偶。

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)$

那么，$x(n)e^{j2\Pi Kn/N}\longleftrightarrow X((K-L))_N$

两个序列的乘法

如果有两个信号 x₁(n) 和 x₂(n)，它们各自的 DFT 是 X₁(k) 和 X₂(K)，那么时间序列中信号的乘法对应于它们的 DFT 的循环卷积。

如果，$x_1(n)\longleftrightarrow X_1(K)\quad\&\quad x_2(n)\longleftrightarrow X_2(K)$

然后，$x_1(n) imes x_2(n)\longleftrightarrow X_1(K)© X_2(K)$

Parseval 定理

对于复值序列 x(n) 和 y(n)，一般来说

如果，$x(n)\longleftrightarrow X(K)\quad \&\quad y(n)\longleftrightarrow Y(K)$

那么，$\sum_{n = 0}^{N-1}x(n)y^*(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}X(K)Y^*(K)$