模拟通信 - SNR 计算
在本章中，我们将计算接收器解调的各种调制波的信噪比和品质因数。
信噪比
信噪比 (SNR) 是信号功率与噪声功率之比。 SNR 值越高，接收输出的质量就越好。
可以使用以下公式计算不同点的信噪比。
输入 SNR = $\left ( SNR ight )_I= \frac{调制信号的平均功率}{输入噪声的平均功率}$
输出 SNR = $\left ( SNR ight )_O= \frac{解调信号的平均功率}{输入噪声的平均功率}$ \:\:输出}$
信道 SNR = $\left ( SNR ight )_C= \frac{调制信号的平均\:\: 功率\:\:}{消息带宽中噪声的平均\:\: 功率\:\:}$
品质因数
输出 SNR 与输入 SNR 之比可称为品质因数。用 F 表示。它描述了设备的性能。
$$F=\frac {\left ( SNR ight )_O}{\left ( SNR ight )_I}$$
接收器的品质因数是
$$F=\frac {\left ( SNR ight )_O}{\left ( SNR ight )_C}$$
这是因为对于接收器来说，通道就是输入。
AM 系统中的 SNR 计算
考虑以下 AM 系统的接收器模型来分析噪声。
我们知道调幅 (AM) 波是
$$s\left ( t ight )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$
$$\Rightarrow s\left ( t ight )=A_c \cos \left ( 2 \pi f_ct ight )+A_ck_am\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$
AM波的平均功率为
$$P_s=\left ( \frac{A_c}{\sqrt{2}} ight )^2+\left ( \frac{A_ck_am\left ( t ight )}{\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}}{2}+\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$
$$\Rightarrow P_s=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+{k_{a}}^{2}P ight )}{2}$$
消息带宽中噪声的平均功率为
$$P_{nc}=WN_0$$
将这些值代入信道 SNR公式
$$\left ( SNR ight )_{C,AM}=\frac{Average \:\: Power \:\: of \:\: AM \:\: Wave}{Average \:\: Power \:\: of \:\: noise \:\: in \:\: 消息 \:\: 带宽}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{C,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2} ight )P}{2WN_0}$$
其中，
P 是消息信号的功率=$\frac{{A_{m}}^{2}}{2}$
W 是消息带宽
假设带通噪声与 AM 波在信道中混合，如上图所示。此组合应用于 AM 解调器的输入。因此，AM解调器的输入为。
$$v\left ( t ight )=s\left ( t ight )+n\left ( t ight )$$
$\Rightarrow v\left ( t ight )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )+$
$\left [ n_1\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight ) - n_Q\left ( t ight ) \sin \left ( 2 \pi f_ct ight ) ight ]$
$\Rightarrow v\left ( t ight )=\left [ A_c+A_ck_am\left ( t ight )+n_1\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight )$
其中$n_I \left ( t ight )$和$n_Q \left ( t ight )$分别为噪声的同相和正交相位分量。
AM解调器的输出就是上述信号的包络。
$$d\left ( t ight )=\sqrt{\left [ A_c+A_cK_am\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ]^2+\left ( n_Q\left ( t ight ) ight )^2}$$
$$\Rightarrow d\left ( t ight )\approx A_c+A_ck_am\left ( t ight )+n_1\left ( t ight )$$
解调信号的平均功率为
$$P_m=\left ( \frac{A_ck_am\left ( t ight )}{\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$
输出端噪声的平均功率为
$$P_no=WN_0$$
将这些值代入输出 SNR公式。
$$\left ( SNR ight )_{O,AM}= \frac {\:\: 解调信号\:\: 的平均功率\:\: }{\:\: 噪声\:\: 在\:\: 输出的平均功率\:\: }$$
$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{O,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2WN_0}$$
代入AM接收器公式品质因数中的值。
$$F=\frac{\left ( SNR ight )_{O,AM}}{\left ( SNR ight )_{C,AM}}$$
$$\Rightarrow F=\left ( \frac{{A_{c}^{2}}{k_{a}^{2}}P}{2WN_0} ight )/\left ( \frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2} ight )P}{2WN_0} ight )$$
$$\Rightarrow F=\frac{{K_{a}}^{2}P}{1+{K_{a}}^{2}P}$$
因此，AM 接收器的品质因数小于 1。
DSBSC 系统中的 SNR 计算
考虑以下 DSBSC 系统的接收器模型来分析噪声。
我们知道 DSBSC 调制波为
$$s\left ( t ight )=A_cm\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$
DSBSC 调制波的平均功率为
$$P_s=\left ( \frac{A_cm\left ( t ight )}{\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2}$$
消息带宽内噪声的平均功率为
$$P_{nc}=WN_0$$
将这些值代入信道 SNR公式中。
$$\left ( SNR ight )_{C,DSBSC}=\frac{Average \:\: Power \:\: of \:\: DSBSC \:\: modulated \:\: wave}{Average \:\: Power \:\: of \:\: noise \:\: in \:\: message \:\: bandwidth}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{C,DSBSC}=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$
假设带通噪声与信道中的 DSBSC 调制波混合，如上图所示。此组合作为乘积调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为
$$v_1\left ( t ight )=s\left ( t ight )+n\left ( t ight )$$
$$\Rightarrow v_1\left ( t ight )=A_cm\left ( t ight ) \cos \left ( 2 \pi f_ct ight )+\left [ n_I\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight ) - n_Q\left ( t ight ) \sin \left ( 2 \pi f_ct ight ) ight ]$$
$$\Rightarrow v_1\left ( t ight )=\left [ A_cm \left ( t ight ) +n_I\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight )$$
本地振荡器生成载波信号 $c\left ( t ight )= \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$。此信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，它是 $v_1\left ( t ight )$ 和 $c\left ( t ight )$ 的乘积。
$$v_2\left ( t ight )= v_1\left ( t ight )c\left ( t ight )$$
代入上述等式中的 $v_1\left ( t ight )$ 和 $c\left ( t ight )$ 值。
$$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\left ( \left [ A_cm\left ( t ight ) + n_I\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )- n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight ) ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$
$$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\left [ A_c m\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ] \cos^2\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$
$$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\left [ A_c m\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ] \left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct ight )}{2} ight ) -n_Q\left ( t ight )\frac{ \sin\left ( 4 \pi f_ct ight )}{2}$$
当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出
$$d\left ( t ight )=\frac{\left [ A_c m\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ]}{2}$$
解调信号的平均功率为
$$P_m=\left ( \frac{A_cm\left ( t ight )}{2\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{8}$$
输出端噪声的平均功率为
$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$
将这些值代入输出 SNR公式中。
$$\left ( SNR ight )_{O,DSBSC}= \frac {解调信号的平均功率 \:\: \:\: }{噪声的平均功率 \:\: \:\: \:\:输出}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{O,DSBSC}=\left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{8} ight )/ \left ( \frac{WN_0}{4} ight )=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$
代入 DSBSC 接收器公式的品质因数中的值。
$$F=\frac{\left ( SNR ight )_{O,DSBSC}}{\left ( SNR ight )_{C,DSBSC}}$$
$$\Rightarrow F= \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} ight )/ \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} ight )$$
$$\Rightarrow F= 1$$
因此，DSBSC 接收机的品质因数为 1。
SSBSC 系统中的 SNR 计算
考虑以下 SSBSC 系统接收机模型来分析噪声。
我们知道具有下边带的 SSBSC 调制波是
$$s\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos \left [ 2 \pi\left ( f_c-f_m ight )t ight ]$$
SSBSC 调制波的平均功率为
$$P_s=\left ( \frac{A_mA_c}{2\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8}$$
消息带宽中噪声的平均功率为
$$P_{nc}=WN_0$$
将这些值代入信道 SNR公式中。
$$\left ( SNR ight )_{C,SSBSC}= \frac {SSBSC \:\: 调制波的平均功率 \:\:}{消息中噪声的平均功率 \:\: \:\: 带宽}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{C,SSBSC}=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$
假设带通噪声与信道中的 SSBSC 调制波混合，如上图所示。此组合作为产品调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为
$$v_1\left ( t ight )=s\left ( t ight )+n\left ( t ight )$$
$$v_1\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m ight )t ight ] + n_I\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin \left ( 2 \pi f_ct ight )$$
本地振荡器生成载波信号 $c\left ( t ight )= \cos \left ( 2 \pi f_ct ight ) $。该信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，它是 $v_1\left ( t ight )$ 和 $c\left ( t ight )$ 的乘积。
$$v_2\left ( t ight )=v_1\left ( t ight )c \left ( t ight )$$
代入上述等式中的 $v_1\left ( t ight )$ 和 $ c\left ( t ight )$ 值。
$\Rightarrow v_2(t)= (\frac{A_mA_c}{2} \cos[ 2 \pi ( f_c-f_m )t ] + n_I ( t ) \cos ( 2 \pi f_ct )-$
$n_Q( t ) \sin ( 2 \pi f_ct ) )\cos ( 2 \pi f_ct )$
$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m ight )t ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )+$
$n_I\left ( t ight ) \cos^2\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$
$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{4} \left \{ \cos\left [ 2 \pi\left ( 2f_c-f_m ight )t ight ] + \cos \left ( 2 \pi f_mt ight ) ight \}+$
$n_I\left ( t ight )\left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct ight )}{2} ight )- n_Q\left ( t ight )\frac{\sin \left ( 4 \pi f_ct ight )}{2}$
当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出为
$$d\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left ( 2 \pi f_mt ight )+\frac{n_I\left ( t ight )}{2}$$
解调信号的平均功率为
$$P_m=\left ( \frac{A_mA_c}{4\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32}$$
输出端噪声的平均功率为
$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$
将这些值代入输出 SNR公式
$$\left ( SNR ight )_{O,SSBSC}= \frac {解调信号的平均功率 \:\:}{输出端噪声的平均功率 \:\:}$$
$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{O,SSBSC}= \left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32} ight )/\left ( \frac{WN_0}{4} ight )=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$
代入SSBSC 接收机品质因数公式中的值
$$F=\frac{\left ( SNR ight )_{O,SSBSC}}{\left ( SNR ight )_{C,SSBSC}}$$
$$F=\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} ight )/\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} ight )$$
$$F=1$$
因此，SSBSC 接收机的品质因数为 1。
