模拟通信 - SNR 计算

在本章中，我们将计算接收器解调的各种调制波的信噪比和品质因数。

信噪比

信噪比 (SNR) 是信号功率与噪声功率之比。 SNR 值越高，接收输出的质量就越好。

可以使用以下公式计算不同点的信噪比。

输入 SNR = $\left ( SNR ight )_I= \frac{调制信号的平均功率}{输入噪声的平均功率}$

输出 SNR = $\left ( SNR ight )_O= \frac{解调信号的平均功率}{输入噪声的平均功率}$ \:\:输出}$

信道 SNR = $\left ( SNR ight )_C= \frac{调制信号的平均\:\: 功率\:\:}{消息带宽中噪声的平均\:\: 功率\:\:}$

品质因数

输出 SNR 与输入 SNR 之比可称为品质因数。用 F 表示。它描述了设备的性能。

$$F=\frac {\left ( SNR ight )_O}{\left ( SNR ight )_I}$$

接收器的品质因数是

$$F=\frac {\left ( SNR ight )_O}{\left ( SNR ight )_C}$$

这是因为对于接收器来说，通道就是输入。

AM 系统中的 SNR 计算

考虑以下 AM 系统的接收器模型来分析噪声。

我们知道调幅 (AM) 波是

$$s\left ( t ight )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$

$$\Rightarrow s\left ( t ight )=A_c \cos \left ( 2 \pi f_ct ight )+A_ck_am\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$

AM波的平均功率为

$$P_s=\left ( \frac{A_c}{\sqrt{2}} ight )^2+\left ( \frac{A_ck_am\left ( t ight )}{\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}}{2}+\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$

$$\Rightarrow P_s=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+{k_{a}}^{2}P ight )}{2}$$

消息带宽中噪声的平均功率为

$$P_{nc}=WN_0$$

将这些值代入信道 SNR公式

$$\left ( SNR ight )_{C,AM}=\frac{Average \:\: Power \:\: of \:\: AM \:\: Wave}{Average \:\: Power \:\: of \:\: noise \:\: in \:\: 消息 \:\: 带宽}$$

$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{C,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2} ight )P}{2WN_0}$$

其中，

• P 是消息信号的功率=$\frac{{A_{m}}^{2}}{2}$

• W 是消息带宽

假设带通噪声与 AM 波在信道中混合，如上图所示。此组合应用于 AM 解调器的输入。因此，AM解调器的输入为。

$$v\left ( t ight )=s\left ( t ight )+n\left ( t ight )$$

$\Rightarrow v\left ( t ight )=A_c\left [ 1+k_am\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )+$

$\left [ n_1\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight ) - n_Q\left ( t ight ) \sin \left ( 2 \pi f_ct ight ) ight ]$

$\Rightarrow v\left ( t ight )=\left [ A_c+A_ck_am\left ( t ight )+n_1\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight )$

其中$n_I \left ( t ight )$和$n_Q \left ( t ight )$分别为噪声的同相和正交相位分量。

AM解调器的输出就是上述信号的包络。

$$d\left ( t ight )=\sqrt{\left [ A_c+A_cK_am\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ]^2+\left ( n_Q\left ( t ight ) ight )^2}$$

$$\Rightarrow d\left ( t ight )\approx A_c+A_ck_am\left ( t ight )+n_1\left ( t ight )$$

解调信号的平均功率为

$$P_m=\left ( \frac{A_ck_am\left ( t ight )}{\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2}$$

输出端噪声的平均功率为

$$P_no=WN_0$$

将这些值代入输出 SNR公式。

$$\left ( SNR ight )_{O,AM}= \frac {\:\: 解调信号\:\: 的平均功率\:\: }{\:\: 噪声\:\: 在\:\: 输出的平均功率\:\: }$$

$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{O,AM}=\frac{{A_{c}}^{2}{k_{a}}^{2}P}{2WN_0}$$

代入AM接收器公式品质因数中的值。

$$F=\frac{\left ( SNR ight )_{O,AM}}{\left ( SNR ight )_{C,AM}}$$

$$\Rightarrow F=\left ( \frac{{A_{c}^{2}}{k_{a}^{2}}P}{2WN_0} ight )/\left ( \frac{{A_{c}}^{2}\left ( 1+ {k_{a}}^{2} ight )P}{2WN_0} ight )$$

$$\Rightarrow F=\frac{{K_{a}}^{2}P}{1+{K_{a}}^{2}P}$$

因此，AM 接收器的品质因数小于 1。

DSBSC 系统中的 SNR 计算

考虑以下 DSBSC 系统的接收器模型来分析噪声。

我们知道 DSBSC 调制波为

$$s\left ( t ight )=A_cm\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$

DSBSC 调制波的平均功率为

$$P_s=\left ( \frac{A_cm\left ( t ight )}{\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2}$$

消息带宽内噪声的平均功率为

$$P_{nc}=WN_0$$

将这些值代入信道 SNR公式中。

$$\left ( SNR ight )_{C,DSBSC}=\frac{Average \:\: Power \:\: of \:\: DSBSC \:\: modulated \:\: wave}{Average \:\: Power \:\: of \:\: noise \:\: in \:\: message \:\: bandwidth}$$

$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{C,DSBSC}=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$

假设带通噪声与信道中的 DSBSC 调制波混合，如上图所示。此组合作为乘积调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为

$$v_1\left ( t ight )=s\left ( t ight )+n\left ( t ight )$$

$$\Rightarrow v_1\left ( t ight )=A_cm\left ( t ight ) \cos \left ( 2 \pi f_ct ight )+\left [ n_I\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight ) - n_Q\left ( t ight ) \sin \left ( 2 \pi f_ct ight ) ight ]$$

$$\Rightarrow v_1\left ( t ight )=\left [ A_cm \left ( t ight ) +n_I\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight )$$

本地振荡器生成载波信号 $c\left ( t ight )= \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$。此信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，它是 $v_1\left ( t ight )$ 和 $c\left ( t ight )$ 的乘积。

$$v_2\left ( t ight )= v_1\left ( t ight )c\left ( t ight )$$

代入上述等式中的 $v_1\left ( t ight )$ 和 $c\left ( t ight )$ 值。

$$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\left ( \left [ A_cm\left ( t ight ) + n_I\left ( t ight ) ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )- n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight ) ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$

$$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\left [ A_c m\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ] \cos^2\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$$

$$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\left [ A_c m\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ] \left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct ight )}{2} ight ) -n_Q\left ( t ight )\frac{ \sin\left ( 4 \pi f_ct ight )}{2}$$

当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出

$$d\left ( t ight )=\frac{\left [ A_c m\left ( t ight )+n_I\left ( t ight ) ight ]}{2}$$

解调信号的平均功率为

$$P_m=\left ( \frac{A_cm\left ( t ight )}{2\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{c}}^{2}P}{8}$$

输出端噪声的平均功率为

$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$

将这些值代入输出 SNR公式中。

$$\left ( SNR ight )_{O,DSBSC}= \frac {解调信号的平均功率 \:\: \:\: }{噪声的平均功率 \:\: \:\: \:\:输出}$$

$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{O,DSBSC}=\left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{8} ight )/ \left ( \frac{WN_0}{4} ight )=\frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0}$$

代入 DSBSC 接收器公式的品质因数中的值。

$$F=\frac{\left ( SNR ight )_{O,DSBSC}}{\left ( SNR ight )_{C,DSBSC}}$$

$$\Rightarrow F= \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} ight )/ \left ( \frac{{A_{c}}^{2}P}{2WN_0} ight )$$

$$\Rightarrow F= 1$$

因此，DSBSC 接收机的品质因数为 1。

SSBSC 系统中的 SNR 计算

考虑以下 SSBSC 系统接收机模型来分析噪声。

我们知道具有下边带的 SSBSC 调制波是

$$s\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos \left [ 2 \pi\left ( f_c-f_m ight )t ight ]$$

SSBSC 调制波的平均功率为

$$P_s=\left ( \frac{A_mA_c}{2\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8}$$

消息带宽中噪声的平均功率为

$$P_{nc}=WN_0$$

将这些值代入信道 SNR公式中。

$$\left ( SNR ight )_{C,SSBSC}= \frac {SSBSC \:\: 调制波的平均功率 \:\:}{消息中噪声的平均功率 \:\: \:\: 带宽}$$

$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{C,SSBSC}=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$

假设带通噪声与信道中的 SSBSC 调制波混合，如上图所示。此组合作为产品调制器的输入之一。因此，该乘积调制器的输入为

$$v_1\left ( t ight )=s\left ( t ight )+n\left ( t ight )$$

$$v_1\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m ight )t ight ] + n_I\left ( t ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin \left ( 2 \pi f_ct ight )$$

本地振荡器生成载波信号 $c\left ( t ight )= \cos \left ( 2 \pi f_ct ight ) $。该信号作为乘积调制器的另一个输入。因此，乘积调制器产生一个输出，它是 $v_1\left ( t ight )$ 和 $c\left ( t ight )$ 的乘积。

$$v_2\left ( t ight )=v_1\left ( t ight )c \left ( t ight )$$

代入上述等式中的 $v_1\left ( t ight )$ 和 $ c\left ( t ight )$ 值。

$\Rightarrow v_2(t)= (\frac{A_mA_c}{2} \cos[ 2 \pi ( f_c-f_m )t ] + n_I ( t ) \cos ( 2 \pi f_ct )-$

$n_Q( t ) \sin ( 2 \pi f_ct ) )\cos ( 2 \pi f_ct )$

$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left [ 2 \pi \left ( f_c-f_m ight )t ight ] \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )+$

$n_I\left ( t ight ) \cos^2\left ( 2 \pi f_ct ight )-n_Q\left ( t ight ) \sin\left ( 2 \pi f_ct ight ) \cos\left ( 2 \pi f_ct ight )$

$\Rightarrow v_2\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{4} \left \{ \cos\left [ 2 \pi\left ( 2f_c-f_m ight )t ight ] + \cos \left ( 2 \pi f_mt ight ) ight \}+$

$n_I\left ( t ight )\left ( \frac{1+ \cos\left ( 4 \pi f_ct ight )}{2} ight )- n_Q\left ( t ight )\frac{\sin \left ( 4 \pi f_ct ight )}{2}$

当上述信号作为低通滤波器的输入时，我们将得到低通滤波器的输出为

$$d\left ( t ight )=\frac{A_mA_c}{2} \cos\left ( 2 \pi f_mt ight )+\frac{n_I\left ( t ight )}{2}$$

解调信号的平均功率为

$$P_m=\left ( \frac{A_mA_c}{4\sqrt{2}} ight )^2=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32}$$

输出端噪声的平均功率为

$$P_{no}=\frac{WN_0}{4}$$

将这些值代入输出 SNR公式

$$\left ( SNR ight )_{O,SSBSC}= \frac {解调信号的平均功率 \:\:}{输出端噪声的平均功率 \:\:}$$

$$\Rightarrow \left ( SNR ight )_{O,SSBSC}= \left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{32} ight )/\left ( \frac{WN_0}{4} ight )=\frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0}$$

代入SSBSC 接收机品质因数公式中的值

$$F=\frac{\left ( SNR ight )_{O,SSBSC}}{\left ( SNR ight )_{C,SSBSC}}$$

$$F=\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} ight )/\left ( \frac{{A_{m}}^{2}{A_{c}}^{2}}{8WN_0} ight )$$

$$F=1$$

因此，SSBSC 接收机的品质因数为 1。