凸集的极点

设 S 是 $\mathbb{R}^n$ 中的凸集。如果 $x= \lambda x_1+\left ( 1-\lambda ight )x_2$，其中 $x_1, x_2 \in S$ 和 $\lambda \in\left ( 0, 1 ight )\Rightarrow x=x_1=x_2$，则向量 $x \in S$ 被称为 S 的极点。

示例

步骤 1 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 ight ) \in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leq 1 ight \}$

极值点，$E=\left \{ \left ( x_1, x_2 ight )\in \mathbb{R}^2:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 1 ight \}$

步骤 2 − $S=\left \{ \left ( x_1,x_2 ight )\in \mathbb{R}^2:x_1+x_2< 2, -x_1+2x_2\leq 2, x_1,x_2\geq 0 ight \}$

极值点，$E=\left \{ \left ( 0, 0 ight), \left ( 2, 0 ight), \left ( 0, 1 ight), \left ( \frac{2}{3}, \frac{4}{3} ight) ight \}$

步骤 3 − S 是由点 $\left \{ \left ( 0,0 ight ), \left ( 1,1 ight ), \left ( 1,3 ight ), \left ( -2,4 ight ),\left ( 0,2 ight ) ight \}$ 构成的多面体

极点，$E=\left \{ \left ( 0,0 ight ), \left ( 1,1 ight ),\left ( 1,3 ight ),\left ( -2,4 ight ) ight \}$

备注

• 凸集 S 中的任何点，都可以表示为其极点的凸组合。

• 这只对闭集和有界集成立$\mathbb{R}^n$。

• 对于无界集合，这可能不成立。

k 极值点

凸集中的点称为 k 极值当且仅当它是 S 内 k 维凸集的内部点，并且它不是 S 内 (k+1) 维凸集的内部点。基本上，对于凸集 S，k 极值点构成 k 维开放面。