凸优化 - 范数

范数是赋予向量或变量严格正值的函数。

范数是函数 $f:\mathbb{R}^n ightarrow \mathbb{R}$

范数的基本特征是 −

设 $X$ 为向量，且 $X\in \mathbb{R}^n$

• $\left \| x ight \|\geq 0$

• $\left \| x ight \|= 0 \Leftrightarrow x= 0\forall x \in X$

• $\left \|\alpha x ight \|=\left | \alpha ight |\left \| x ight \|\forall \:x \in X 并且 \:\alpha \:is \:a \:scalar$

• $\left \| x+y ight \|\leq \left \| x ight \|+\left \| y ight \| \forall x,y \in X$

• $\left \| x-y ight \|\geq \left \| \left \| x ight \|-\left \| y ight \| ight \|$

根据定义，范数的计算方法如下 −

• $\left \| x ight \|_1=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i ight |$

• $\left \| x ight \|_2=\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i ight |^2 ight )^{\frac{1}{2}}$

• $\left \| x ight \|_p=\left ( \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\left | x_i ight |^p ight )^{\frac{1}{p}},1 \leq p \leq \infty$

范数是一个连续函数。

证明

根据定义，如果 $x_n ightarrow x$ 位于 $X\Rightarrow f\left ( x_n ight ) ightarrow f\left ( x ight ) $ 中，则 $f\left ( x ight )$ 是一个常数函数。

设 $f\left ( x ight )=\left \| x ight \|$

因此，$\left | f\left ( x_n ight )-f\left ( x ight ) ight |=\left | \left \| x_n ight \| -\left \| x ight \| ight |\leq \left | \left | x_n-x ight | \: ight |$

由于 $x_n ightarrow x$ 因此，$\left \| x_n-x ight \| ightarrow 0$

因此 $\left | f\left ( x_n ight )-f\left ( x ight ) ight |\leq 0\Rightarrow \left | f\left ( x_n ight )-f\left ( x ight ) ight |=0\Rightarrow f\left ( x_n ight ) ightarrow f\left ( x ight )$

因此，范数是一个连续函数。