凸优化 - 方向

设 S 为 $\mathbb{R}^n$ 中的闭凸集。如果对于每个 $x \in S,x+\lambda d \in S, \forall \lambda \geq 0.$，则非零向量 $d \in \mathbb{R}^n$ 被称为 S 的方向。

• 如果 $d eq \alpha d_2$，且 $ \alpha>0$，则 S 的两个方向 $d_1$ 和 $d_2$ 被称为不同的方向。

• 如果 $S$ 的方向 $d$ 不能写成两个不同方向的正线性组合，则称其为极端方向，即，如果对于 $\lambda _1, \lambda _2>0$，$d=\lambda _1d_1+\lambda _2d_2$，则对于某个 $\alpha$，$d_1= \alpha d_2$。

• 任何另一个方向可以表示为极端方向的正组合。

• 对于凸集$S$，对于某个$x \in S$，并且所有$\lambda \geq0$，$x+\lambda d \in S$的方向d称为对$S$的隐性。

• 设E为$\mathbb{R}^n$中非空凸集S上的某个函数$f:S ightarrow$取最大值的点集，则$E$称为$S$的暴露面。暴露面的方向称为暴露方向。

• 方向为极值方向的射线称为极值射线。

示例

考虑函数 $f\left ( x ight )=y=\left |x ight |$，其中 $x \in \mathbb{R}^n$。设 d 为 $\mathbb{R}^n$ 中的单位向量

那么，d 就是函数 f 的方向，因为对于任何 $\lambda \geq 0, x+\lambda d \in f\left ( x ight )$。